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--- solucao:x2isor [2015/05/29 01:21]
caio
+++ solucao:x2isor [2020/11/06 16:05] (atual)
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-Dado o isomorfismo $f$ de (2.1), vamos estendê-la para $X$. Seja $f'(x) = \sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$. Mostraremos que $f'$ é de fato um homeomorfismo entre $X$ e $\mathbb R$.
+Vamos extender o isomorfismo $f: D \rightarrow \mathbb Q$ construído no item (1) dessa seção. Considere $F: X \rightarrow \mathbb R$ definida como $F(x) = \sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$.
-Pela densidade de $D$, $f'$ preserva a ordem, pois dados $x,y \in X$ com $x < y$, existe $d' \in D$ tal que $x < d' < y$, e como $f'(x) < d'$, segue que f'(x) < f'(y). Disso segue que $f'$ é injetiva (se $x \neq y$, suponha sem perda de generalidade que $x < y$ e note que $f(x) < f(y)$). Pelo exercício anterior, $f'(x) = f(x) = sup\{f(d): d \in D, d \leq x\}$ se $x \in D$. Note que  Ou seja, a imagem de $f'(x)$ é $\mathbb R$.
+Sejam $x,y \in X$ com $x < y$. Da densidade de $D$ segue que existe $p \in D$ tal que $p \in ]x,y[$. Note que $F(x) < F(p)$ e que $F(p) < F(y)$, portanto $F(x) < F(y)$. Isso mostra que $F$ preserva a ordem e é injetora. Mostremos que é sobrejetora:
-Portanto $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.
+Seja $a \in \mathbb R$. Considere $x = sup\{d \in D: f(d) \leq a\}$, que existe devido a completude de $X$. Note que $F(x) = a$.
+Com isso concluímos que $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.

Topologia e conjuntos em exercícios