Topologia e conjuntos em exercícios

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--- solucao:todoevtembase [2020/03/03 09:31]
127.0.0.1 edição externa
+++ solucao:todoevtembase [2020/11/06 16:05] (atual)
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
-Considere $\leq$ uma Boa Ordem sobre o Espaço Vetorial $V$. Vamos definir o conjunto $B=\{v \in V: v \notin [\{w \in V: v < w\}]\}$ que será uma base para V. Precisamos provar que $B$ é Linearmente Independente e que $[B]=V$.
+Considere $\leq$ uma Boa Ordem sobre o Espaço Vetorial $V$. Vamos definir o conjunto $B=\{v \in V: v \notin [\{w \in V: w < v\}]\}$ que será uma base para V. Precisamos provar que $B$ é Linearmente Independente e que $[B]=V$.
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@@ Linha 10: / Linha 10: @@
   * $[B] = V$:
-Suponha que $[B]$ não gera $V$, então é verdade que $V\setminus[B] \neq\{\emptyset\}$. Pela Boa Ordem podemos tomar $a$, o menor elemento de $V\setminus[B]$. Como $a \notin [B]$ então $a \in [\{w \in V: w<a\}]$, mas sendo $a$ o menor elemento, para todo $w<a, w \in [B]$. Isso significa que $a$ é da forma $a=\beta_1w_1+\beta_2w_2+...+\beta_nw_n \in [B]$, dados $w_1,w_2,...,w_n \in [B]$ e escalares não nulos $\beta_1,\beta_2,...\beta_n$. Disto concluímos que $a \in [B]$. Portanto, como $V\setminus[B]$ não tem menor elemento, temos que $V\setminus[B] = \{\emptyset\}$, ou seja, $[B]=V$.
+Suponha que $[B]$ não gera $V$, então é verdade que $V\setminus[B] \neq\{\emptyset\}$. Pela Boa Ordem podemos tomar $a$, o menor elemento de $V\setminus[B]$. Como $a \notin [B]$, em particular, $a \notin B$. Assim, $a \in [\{w \in V: w<a\}]$, mas sendo $a$ o menor elemento, para todo $w<a, w \in [B]$. Isso significa que $a$ é da forma $a=\beta_1w_1+\beta_2w_2+...+\beta_nw_n \in [B]$, dados $w_1,w_2,...,w_n \in [B]$ e escalares não nulos $\beta_1,\beta_2,...\beta_n$. Disto concluímos que $a \in [B]$. Portanto, como $V\setminus[B]$ não tem menor elemento, temos que $V\setminus[B] = \{\emptyset\}$, ou seja, $[B]=V$.

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