Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:todoevtembase

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solucao:todoevtembase [2014/11/01 19:09]
figurac Vim cá ajeitar essa prova que você tinha me mandado um e-mail apontando os defeitos 		solucao:todoevtembase [2020/11/06 16:05] (atual)
Linha 1: Linha 1:
-Considere $\leq$ uma Boa Ordem sobre o Espaço Vetorial $V$. Vamos definir o conjunto $B=\{v \in V: v \notin [\{w \in V: v < w\}]\}$ que será uma base para V. Precisamos provar que $B$ é Linearmente Independente e que $[B]=V$.+Considere $\leq$ uma Boa Ordem sobre o Espaço Vetorial $V$. Vamos definir o conjunto $B=\{v \in V: v \notin [\{w \in V: w < v\}]\}$ que será uma base para V. Precisamos provar que $B$ é Linearmente Independente e que $[B]=V$.
  
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Linha 6: Linha 6:
   * $B$ é Linearmente Independente:   * $B$ é Linearmente Independente:
  
-Para isso, suponha que $B$ não é LI e então tome $v_1, v_2, ..., v_n$ $\in B$ e escalares não nulos $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ de modo que $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n = 0$. Sem perda de generalidade tome $v_1$ como o maior elemento que pode ser escrito da forma $v_1=1/\alpha_1(\alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n)$. Deste modo $v_1 \in [\{w \in V: w<v_1\}]$, ou seja, um absurdo. Portanto concluímos que $B$ é LI.+Para isso, suponha que $B$ não é LI e então tome $v_1, v_2, ..., v_n$ $\in B$ e escalares não nulos $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ de modo que $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n = 0$. Sem perda de generalidade tome $v_1$ como o maior elemento que pode ser escrito da forma $v_1=\frac{1}{\alpha_1}(\alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n)$. Deste modo $v_1 \in [\{w \in V: w<v_1\}]$, ou seja, um absurdo. Portanto concluímos que $B$ é LI.
  
   * $[B] = V$:   * $[B] = V$:
  
-Suponha que $[B]$ não gera $V$, então é verdade que $V\setminus[B] \neq\{\emptyset\}$. Pela Boa Ordem podemos tomar $a$, o menor elemento de $V\setminus[B]$. Como $a \notin [B]$ então $a \in [\{w \in V: w<a\}]$, mas sendo $a$ o menor elemento, para todo $w<a, w \in [B]$. Isso significa que $a$ é da forma $a=\beta_1w_1+\beta_2w_2+...+\beta_nw_n \in [B]$, dados $w_1,w_2,...,w_n \in [B]$ e escalares não nulos $\beta_1,\beta_2,...\beta_n$. Disto concluímos que $a \in [B]$. Portanto, como $V\setminus[B]$ não tem menor elemento, temos que $V\setminus[B] = \{\emptyset\}$, ou seja, $[B]=V$.+Suponha que $[B]$ não gera $V$, então é verdade que $V\setminus[B] \neq\{\emptyset\}$. Pela Boa Ordem podemos tomar $a$, o menor elemento de $V\setminus[B]$. Como $a \notin [B]$, em particular, $a \notin B$. Assim, $a \in [\{w \in V: w<a\}]$, mas sendo $a$ o menor elemento, para todo $w<a, w \in [B]$. Isso significa que $a$ é da forma $a=\beta_1w_1+\beta_2w_2+...+\beta_nw_n \in [B]$, dados $w_1,w_2,...,w_n \in [B]$ e escalares não nulos $\beta_1,\beta_2,...\beta_n$. Disto concluímos que $a \in [B]$. Portanto, como $V\setminus[B]$ não tem menor elemento, temos que $V\setminus[B] = \{\emptyset\}$, ou seja, $[B]=V$.
  
  
solucao/todoevtembase.1414876142.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 16:03 (edição externa)

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