solucao:sigmadaabertosbasicos
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solucao:sigmadaabertosbasicos [2020/11/06 16:05] (atual)
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| Seja \(\sigma\) uma estratégia para o jogador I com \(\sigma(()) = U_0\). Construiremos uma estratégia \(\sigma'\) que só dá abertos básicos. | Seja \(\sigma\) uma estratégia vencedora para o jogador I com \(\sigma(()) = U_0\). Então existe \(\sigma'\) vencedora que só dá abertos básicos. |
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| Suponha \(\sigma\) vencedora. Na primeira rodada \(\sigma'\) escolhe um aberto básico \(A_0 \times B_0 \subset U_0\). O jogador II, então, escolhe um aberto \(V_0 \subset A_0 \times B_0\). Na segunda rodada, definimos \(\sigma'(V_0) = A_1 \times B_1\) tal que \(A_1 \times B_1 \subset \sigma (V_0) = U_1\), e assim por diante. Como \(\sigma\) é vencedora, \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyset \implies \bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i = \emptyset\), logo \(\sigma'\) também será vencedora. | Construímos da seguinte forma: Na primeira rodada, \(\sigma'\) escolhe um aberto básico \(A_0 \times B_0 \subset U_0\). O jogador II, então, escolhe um aberto \(V_0 \subset A_0 \times B_0\). Na segunda rodada, definimos \(\sigma'(V_0) = A_1 \times B_1\) tal que \(A_1 \times B_1 \subset \sigma (V_0) = U_1\), e assim por diante. Como \(\sigma\) é vencedora, \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyset \implies \bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i = \emptyset\), logo \(\sigma'\) também será vencedora. |
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| Agora suponha que \(\sigma\) não é vencedora (ou seja, existe uma estratégia \(\rho\) de II que vence \(\sigma\)) e seja \((V_i)_{i \in \omega}\) as jogadas de II em \(\rho\). Sabemos, então, que existe \(x \in \bigcap\limits_{i \in \omega}V_i\). Na primeira rodada \(\sigma'\) escolhe um aberto básico \(A_0 \times B_0 \subset U_0\) com \(x \in A_0 \times B_0\). O jogador II, então, escolhe um aberto \(V'_0 \subset A_0 \times B_0\) tal que \(x \in V'_0\) e então na segunda rodada o I escolhe \(\sigma'(V'_0) = A_1 \times B_1 \) tal que \(x \in A_1 \times B_1 \subset V_0'\). Certamente teremos \(x \in \bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i\), concluímos que existe uma estratégia \(\rho'\) de II que vence \(\sigma'\). | |
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solucao/sigmadaabertosbasicos.1528820679.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 16:03 (edição externa)
