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--- solucao:sigmadaabertosbasicos [2018/06/04 11:33]
estevao criada
+++ solucao:sigmadaabertosbasicos [2020/11/06 16:05] (atual)
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-Sejam \((U_i)_{i \in \omega}\) as jogadas de I sobre \(\sigma\). Sabemos que para todo \(U_i\) existe \(A_i \times B_i \subset U_i\) tal que \(A_i\) e \(B_i\) são abertos não vazios de \(X\) e \(Y\), respectivamente. Claramente temos que \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyset \implies \bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i = \emptyset\). Reciprocamente, se \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i \neq \emptyset\) então dado \(x \in \bigcap\limits_{i \in \omega}U_i\), podemos sempre tomar \(A_i \times B_i \ni x\) (pois é base). Assim, \(\bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i \neq \emptyset\).
+Seja \(\sigma\) uma estratégia vencedora para o jogador I com \(\sigma(()) = U_0\). Então existe \(\sigma'\) vencedora que só dá abertos básicos.
+Construímos da seguinte forma: Na primeira rodada, \(\sigma'\) escolhe um aberto básico \(A_0 \times B_0 \subset U_0\). O jogador II, então, escolhe um aberto \(V_0 \subset A_0 \times B_0\). Na segunda rodada, definimos \(\sigma'(V_0) = A_1 \times B_1\) tal que \(A_1 \times B_1 \subset \sigma (V_0) = U_1\), e assim por diante. Como \(\sigma\) é vencedora, \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyset \implies \bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i = \emptyset\), logo \(\sigma'\) também será vencedora.
-Portanto, \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyset \iff \bigcap\limits_{i \in \omega}A_i \times B_i = \emptyset\).

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