Diferenças

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-	Sejam $(X,\tau)$ um espaço separável e $D$ um denso enumerável de $X$. Suponha que $(X,\tau)$ não é $c.c.c$. Seja $\mathcal {A}$ uma família não enumerável de abertos dois a dois disjuntos. Para cada $A \in \mathcal {A}$ tome $d_A \in D\cap A$. Considere o conjunto $\mathcal C = \{d_A \in D: A \in \mathcal A\}$. Temos que se $B \in \mathcal{A}$ e $B \neq A$ então $d_A \notin B$, pois $A$ e $B$ são disjuntos. Daí segue que, como $\mathcal A$ é não enumerável, $\mathcal C$ também é, contrariando a hipótese de $D$ ser enumerável pois $\mathcal C \subset D$.	+	Sejam $(X,\tau)$ um espaço separável e $D$ um denso enumerável de $X$. Suponha que $(X,\tau)$ não é $c.c.c$. Seja $\mathcal {A}$ uma família não enumerável de abertos dois a dois disjuntos. Para cada $A \in \mathcal {A}$ tome $d_A \in D\cap A$. Considere o conjunto $\mathcal C = \{d_A \in D: A \in \mathcal A\}$. Temos que se $B \in \mathcal{A}$ e $B \neq A$ então $d_A \notin B$, pois $A$ e $B$ são disjuntos. Observe que pela não enumerabilidade de $\mathcal A$ segue que $\mathcal C$ é não enumerável, contrariando a hipótese de $D$ ser enumerável pois $\mathcal C \subset D$.

Topologia e conjuntos em exercícios