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-	Seja $(X,\tau)$ um espaço separável, e seja $D$ um denso enumerável de $X$. Suponha que $(X,\tau)$ não é $c.c.c$. Seja $\mathcal {A}$ uma família de abertos dois a dois disjuntos e não enumerável. Seja $d_A \in D\cap A$. Note que $d_A \notin A', \forall A' \in \mathcal {A}, A' \neq A$. Como $\mathcal {A}$ é não enumerável, segue que existem não enumeráveis elementos de $\mathcal {A}$ em $D$, o que é um absurdo, pois $D$ é enumerável. Portanto $(X,\tau)$ é $c.c.c$.	+	Sejam $(X,\tau)$ um espaço separável e $D$ um denso enumerável de $X$. Suponha que $(X,\tau)$ não é $c.c.c$. Seja $\mathcal {A}$ uma família não enumerável de abertos dois a dois disjuntos. Para cada $A \in \mathcal {A}$ tome $d_A \in D\cap A$. Considere o conjunto $\mathcal C = \{d_A \in D: A \in \mathcal A\}$. Temos que se $B \in \mathcal{A}$ e $B \neq A$ então $d_A \notin B$, pois $A$ e $B$ são disjuntos. Observe que pela não enumerabilidade de $\mathcal A$ segue que $\mathcal C$ é não enumerável, contrariando a hipótese de $D$ ser enumerável pois $\mathcal C \subset D$.

Topologia e conjuntos em exercícios