Diferenças

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--- solucao:pseudocompactoenumcompacto [2015/05/09 21:49]
trajano
+++ solucao:pseudocompactoenumcompacto [2020/11/06 16:05] (atual)
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-Suponha que não.
+Suponha que não.\\
-Então existe (pelo exercício 1) $D \subset X$ fechado discreto infinito.\\
+Então, existe $D_\omega \subset X$ discreto fechado e infinito, tal que $D_\omega = \{d_k: k \in \omega\}$. \\
-Defina $f : D \rightarrow \mathbb{R}$, como sendo $f(d_k) = k$, para todo $d_k \in D$.\\
+Defina $f : D_\omega \rightarrow \mathbb{R}$, como sendo $f(d_k) = k$, para todo $d_k \in D_\omega$.\\
 Note que, estamos sob as hipóteses do Teorema da Extensão de Tietze, pois $X$ é normal e $f$ é uma função contínua, definida num subconjunto fechado de $X$.\\
 Portanto, existe $g : X \rightarrow \mathbb{R}$, extensão contínua de $f$.\\
 Note $g [X]$ é ilimitado, logo $X$ não é pseudocompacto, contradição.

Topologia e conjuntos em exercícios