Diferenças

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caio.oliveira criada
+++ solucao:pontofechado [2020/11/06 16:05] (atual)
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 Ida:\\
-Dado $x \in X$, vamos mostrar que $X \backslash \{x\}$ é aberto:\\
+Tome $x \in X$. Vamos mostrar que $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto:\\
-Tomando $y \in X$ e sabendo que $X$ é $T_1$ temos que existe $A_y$ aberto em $X$ tal que $y \in A_y$ e $x \notin A_y$.\\
+Seja $y \in X$ com $y \neq x$. Como $X$ é $T_1$ então existe $A_y$ aberto em $X$ tal que $y \in A_y$ e $x \notin A_y$. Logo, temos que $A_y \subset X \smallsetminus \{x\}$. Como $y$ é arbitrário, segue que $\bigcup_{y \in X} A_y = X \smallsetminus \{x\}$. Logo, $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto, pois é união de abertos. \\
-Mas note:\\
-    *  $\bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y = X \backslash \{x\}$.\\
-Prova: Seja $z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$, então $z \in A_z$ pra algum $A_z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$, logo, $z \in X \backslash \{x\}$.
-Agora tome $z \in X \backslash \{x\}$.
-Como $X$ é $T_1$, então existe $A_z$ aberto em $X$ tal que $z \in A_z$ e $x \notin A_z$, logo, $z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$.\\
-    *  $\bigcup_{y \in X} A_y = X \backslash \{x\}$ é aberto, pois união de abertos é aberto, logo, $\{x\}$ é fechado.\\
 Volta:\\
-Dado $x \in X$ temos que $\{x\}$ é fechado, logo, $X \backslash \{x\}$ é aberto e para todo $y \in X$ temos que $y \in X \backslash \{x\}$ e $x \notin X \backslash \{x\}$, logo, $X$ é $T_1$.
+Dados $x, y \in X$ distintos e sabendo que $\{x\}$ é fechado temos que $X \smallsetminus \{x\}$ é aberto. Note então que $y \in X \smallsetminus \{x\}$ e que $x \notin X \smallsetminus \{x\}$, ou seja, conseguimos um aberto tal que $y$ está nesse aberto e $x$ não, logo, $X$ é $T_1$.

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