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solucao:penumeravelccc [2015/06/02 12:26]
figurac |
solucao:penumeravelccc [2020/11/06 16:05] (atual)
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| * $n=1$ | * $n=1$ |
| Associe para cada número $a \in \omega$ um número $p$ primo. Deste modo lieste as funções com domínio de tamanho 1 da seguinte maneira: para todo $n \in \omega$ faça $f_{p^n}(a) = n$. | O conjunto das funções de domínio de tamanho 1 é, nesse caso, o conjunto $F=\{\{(a,b)\}: (a,b) \in \omega\times\omega\}$, que é enumerável, pois $\omega\times\omega$ é enumerável. |
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| * Passo da indução | * Passo da indução |
| Agora suponha que existe $n \in \omega$ tal que o conjuntos $F$ das funções com o domínio de tamanho $n$ seja enumerável. Queremos provar que o conjunto $G$ das funções de domínio com o tamanho $n+1$ é também enumerável. Note que dada $f \in F$ podemos acrescentar um novo elemento ao domínio, assim teremos uma função com domínio de tamanho $n+1$. Forme o conjunto $A_f = \{ f \cup \{(a,b)\} : a,b \in \omega, a \notin dom(f)\}$ que é enumerável. já que possui o mesmo número de elementos das funções de domínio de tamanho 1. Assim cada $g \in A_f$ tem domínio de tamanho $n+1$. Note agora que $\bigcup_{f\in F}A_f = G$ e isso nada mais é que uma união enumerável de conjuntos enumeráveis, que é enumerável. | Agora suponha que existe $n \in \omega$ tal que o conjunto $F$ das funções com o domínio de tamanho $n$ seja enumerável. Queremos provar que o conjunto $G$ das funções de domínio com o tamanho $n+1$ é também enumerável. Note que dada $f \in F$ podemos acrescentar um novo elemento ao domínio, assim teremos uma função com domínio de tamanho $n+1$. Forme o conjunto $A_f = \{ f \cup \{(a,b)\} : a,b \in \omega, a \notin dom(f)\}$ que é enumerável. já que possui o mesmo número de elementos das funções de domínio de tamanho 1. Assim cada $g \in A_f$ tem domínio de tamanho $n+1$. Note agora que $\bigcup_{f\in F}A_f = G$ e isso nada mais é que uma união enumerável de conjuntos enumeráveis, que é enumerável. |
