Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:kscompacto

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solucao:kscompacto [2015/02/20 01:12]
guga Acho que está meio confuso. Ainda vou dar uma olhada melhor. 		solucao:kscompacto [2020/11/06 16:05] (atual)
Linha 1: Linha 1:
-O primeiro passo é mostrar que para qualquer cobertura por abertos básicos $C_K$ de $K_s$ existe $C' \subset C_K$ tal que $K_s \subset \overline{\cup C'}$.\\+Vamos mostrar que para qualquer cobertura por abertos básicos $C_K$ de $K_s$ existe $C' \subset C_K$ finita tal que $K_s \subset \overline{\cup C'}$.\\
 Fixada uma cobertura $C_K$ para $K_s$, vamos construir uma cobertura $C_X$ para $X\setminus K_s$ assim: para todo $x\in X\setminus K_s$, tome um aberto básico $A$ contendo $x$ tal que, para algum aberto $B \supset K_s$, $A\cap B = \emptyset$. Note que a escolha de abertos com essas propriedades é possível porque $X$ é regular.\\ Fixada uma cobertura $C_K$ para $K_s$, vamos construir uma cobertura $C_X$ para $X\setminus K_s$ assim: para todo $x\in X\setminus K_s$, tome um aberto básico $A$ contendo $x$ tal que, para algum aberto $B \supset K_s$, $A\cap B = \emptyset$. Note que a escolha de abertos com essas propriedades é possível porque $X$ é regular.\\
-Temos, assim que $C = C_K \cup C_X$ e $C\in \mathcal{C}_{\mathcal{B}}$, então podemos aplicar $\sigma$ à cobertura $C$.\\ +Tomemos $C = C_K \cup C_X$, note que $C\in \mathcal{C}_{\mathcal{B}}$, então podemos aplicar $\sigma$ à cobertura $C$.\\ 
-Sabemos que $K_s \subset \overline{\cup \sigma(s^\smallfrown C)}$, mas por construção, todos os elementos de $C_X$ tem fechos disjuntos de $K_s$, portanto podemos tomar $C'\subset \sigma(s^\smallfrown C)$ composta apenas pelos elementos de $\sigma(s^\smallfrown C)$ que pertencem a $C_K$. Note que $C'$ é finito e que $K_s \subset \overline{\cup C'}$.\\ +Sabemos que $K_s \subset \overline{\cup \sigma(s^\smallfrown C)}$, mas por construção, todos os elementos de $C_X$ tem fechos disjuntos de $K_s$, portanto podemos tomar $C'\subset \sigma(s^\smallfrown C)$ composta apenas pelos elementos de $\sigma(s^\smallfrown C)$ que pertencem a $C_K$, já que os elementos de $C_X$ não contribuem para recobrir $K_s$. Note que $C'\subset C_K$, $K_s \subset \overline{\cup C'}$ e $C'$ é finito, pois $C'\subset \sigma(s^\smallfrown C)$.\\ 
-O segundo passo é mostrar que se para qualquer cobertura $C_K$ para $K_s$ existe $C' \subset C_K$ finito tal $K_s \subset \overline{\cup C'}$, então $K_s$ é compacto.\\ +Com isso, segue do resultado anterior que $K_s$ é compacto.
-Fixada a cobertura $C_K$, vamos construir outra cobertura $C'_K$ da seguinte maneira: todo $x\in K_s$ pertence a um aberto de $A$ de $C_K$, como $K_s$ é regular, para todo $x$ podemos tomar um aberto $B$ tal que $x\in B$ e $\overline{B}\subset A$. A união de todos os $B's$ formam uma cobertura $B_K$ para $K_s$, portanto existe um $B'_K\subset B_K$ finito tal que $K_s\subset \overline{\cup B'_K}$. Mas cada elemento de $B'_K$ está contido em um aberto de $C_K$, logo, esses abertos formam uma cobertura finita para $K_s$. +
solucao/kscompacto.1424401949.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 16:03 (edição externa)

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