solucao:existseqparaxnofecho
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| Seja $x \in \overline{A} $, considere o aberto $B_{\frac{1}{n} }(x)$ com $n \in \mathbb{N}-\{ 0 \}$, como $x$ é ponto aderente $B_{\frac{1}{n} }(x) \cap A \neq \emptyset $. Para cada $n \in \mathbb{N}$ escolhe-se $a_n \in B_{ \frac{1}{n} }(x) \cap A$. A sequência $ (a_n)_{n \in \mathbb{N} }$ converge pois, seja $\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} $ da propriedade de Arquimedes¹ $\exists n_0 \in \mathbb{N} $, tal que $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$. Por construção $a_n \in B_{ \frac{1}{n} }(x)$, logo $d(a_n, x) < \frac{1}{n}$. Se $n \geq n_0 $ temos que $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} $, ou seja $d(a_n, x) < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} < \varepsilon $ e portanto $a_n \longrightarrow x$. | Seja $x \in \overline{A}$. Considere o aberto $B_{\frac{1}{n} }(x)$ com $n \in \mathbb{N}_{>0}$. Como $x$ é ponto aderente, $B_{\frac{1}{n} }(x) \cap A \neq \emptyset $. Para cada $n \in \mathbb{N}_{>0}$ escolha $a_n \in B_{ \frac{1}{n} }(x) \cap A$. A sequência $ (a_n)_{n \in \mathbb{N} }$ converge para $x$. De fato, seja $\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} $, da propriedade de Arquimedes¹ $\exists n_0 \in \mathbb{N} $ tal que $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$. Se $n \geq n_0 $ temos que $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} $, ou seja $d(a_n, x) < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} < \varepsilon $ e portanto $a_n \longrightarrow x$. |
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| 1:[[https://pt.wikibooks.org/wiki/An%C3%A1lise_real/Os_n%C3%BAmeros_reais#Propriedade_de_Arquimedes|Propriedade de Arquimedes]] | 1:[[https://pt.wikibooks.org/wiki/An%C3%A1lise_real/Os_n%C3%BAmeros_reais#Propriedade_de_Arquimedes|Propriedade de Arquimedes]] |
solucao/existseqparaxnofecho.1490741715.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 16:03 (edição externa)
