solucao:existseqparaxnofecho
Diferenças
Aqui você vê as diferenças entre duas revisões dessa página.
|
Próxima revisão
|
Revisão anterior
|
solucao:existseqparaxnofecho [2017/03/26 17:53]
mayk criada |
solucao:existseqparaxnofecho [2020/11/06 16:05] (atual)
|
| Seja $x \in \overline{A}$ considere a $\varepsilon$-vizinhança de $x$ dada por $\mathcal{A} = \{ B_{\varepsilon}(x) | \varepsilon = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \} $, como $x$ é ponto aderente, temos que $B_{\varepsilon}(x) \cap A \neq \emptyset$. Para cada $n \in \mathbb{N}$ escolhe-se $a_n \in B_{\varepsilon}(x) \cap A $. Note que a sequência $(a_n)_{n \mathbb{N} }$ converge para $x$, pois dado $\varepsilon > 0$ existe $n_0 \in \mathbb{N} $ tal que, se $n \geq n_0$ então $a_n \in B_{\varepsilon}(x)$. | Seja $x \in \overline{A}$. Considere o aberto $B_{\frac{1}{n} }(x)$ com $n \in \mathbb{N}_{>0}$. Como $x$ é ponto aderente, $B_{\frac{1}{n} }(x) \cap A \neq \emptyset $. Para cada $n \in \mathbb{N}_{>0}$ escolha $a_n \in B_{ \frac{1}{n} }(x) \cap A$. A sequência $ (a_n)_{n \in \mathbb{N} }$ converge para $x$. De fato, seja $\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} $, da propriedade de Arquimedes¹ $\exists n_0 \in \mathbb{N} $ tal que $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$. Se $n \geq n_0 $ temos que $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} $, ou seja $d(a_n, x) < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} < \varepsilon $ e portanto $a_n \longrightarrow x$. |
| | |
| | 1:[[https://pt.wikibooks.org/wiki/An%C3%A1lise_real/Os_n%C3%BAmeros_reais#Propriedade_de_Arquimedes|Propriedade de Arquimedes]] |
solucao/existseqparaxnofecho.1490561593.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 16:03 (edição externa)
