Diferenças

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--- solucao:exer2-compactos [2017/03/27 20:31]
mayk
+++ solucao:exer2-compactos [2020/11/06 16:05] (atual)
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+$(X, \tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ uma base.
 $1 \Longrightarrow 2$
 Decorre diretamente da definição de compacto.
@@ Linha 4: / Linha 6: @@
 $1 \Longleftarrow 2$
-Seja $ \mathcal{A} $ uma cobertura aberta qualquer de $X$. Para cada $ x \in X$ tome $B_x \in \mathcal{B} $ tal que $x \in B_x$ onde $\mathcal{B}$ é uma base, temos então que $\mathcal{C} = \{ B_x | x \in B_x \subset \mathcal{B}, x \in X \}$ é uma cobertura aberta de $X$, então por hipótese existe subcobertura $\mathcal{C}' \subset \mathcal {C}$ finita. Uma vez que $\mathcal{A}$ é cobertura aberta de $X$, temos que se $C \in \mathcal{C}'$ então existe $A$ tal que $ C \subset A \in \mathcal{A}$, então $\mathcal{A}' =  \{ A_c | c \in \mathcal{C}' \} \subset \mathcal{A}$ é subcobertura finita de $X$.
+Queremos mostrar que para uma cobertura $\mathcal{A}$ aberta qualquer de $X$ existe uma subcobertura $\mathcal{A}' \subset \mathcal{A} $ finita.
+Seja $ \mathcal{A} $ uma cobertura aberta qualquer de $X$. Para cada $x \in X$ tome $A_x \in \mathcal{A}$ , tal que $x \in A_x $. Note que $\mathcal{A_x} = \{ A_x | A_x \in \mathcal{A} \} $ é uma cobertura de $X$. Agora, para cada $x \in X$ tome $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $ x \in B_x \subset A_x$. Tal $B_x$ existe pois $\mathcal{B}$ é uma base de $X$. Observe que $\mathcal{K} = \{B_x | x \in X\}$ é uma cobertura de $X$. Por hipótese, existe $\mathcal{K}' = \{B_{x_1}, ..., B_{x_n}\} \subset \mathcal{K}$ cobertura finita de $X$. Então $ \mathcal{A}'= \{ A_{x_1}, ..., A_{x_n} \} \subset \mathcal{A}$ é uma cobertura já que cada $B_{x_i} \subset A_{x_i} \forall i \in \{1,...,n\}$.

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