Diferenças

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--- solucao:enumcompactossetodoinfinitopontacum [2015/10/26 10:39]
trajano
+++ solucao:enumcompactossetodoinfinitopontacum [2020/11/06 16:05] (atual)
@@ Linha 15: / Linha 15: @@
 $$ V_3 = (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i) $$
 Indutivamente, dado $j \in \omega$ como $\mathcal{U}$ é uma cobertura, existe $n \in \omega$, tal que $x_{j-1} \in U_{n_{j-1}}$. Considere $x_j \in X$, tal que $x_j \not \in (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i) \cup ... \cup (\bigcup_{i=n_{j-2}+1}^{n_{j-1}} U_i)$. Defina o seguinte conjunto:
-$$ V_ j = (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i) \cup ... \cup (\bigcup_{i=n_{(j-2)}+1}^{n_{j-1}} U_i)$$
+$$ V_ j = (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i) \cup ... \cup (\bigcup_{i=n_{j-2}+1}^{n_{j-1}} U_i)$$
 Por construção, temos que $n_1 < n_2 < n_3 < ...$. \\
-Como $x_n \neq x_m$ se $m \neq n$, o conjunto $D = \{x_1, x_2, ...\}$ é infinito. Note que, a sequência de abertos $(V_n)_{n \in \omega}$ é crescente. Além disso, temos:
+Como $x_i \neq x_j$ se $i \neq j$, o conjunto $D = \{x_1, x_2, ...\}$ é infinito. Note que, a sequência de abertos $(V_j)_{j \in \omega}$ é crescente. Além disso, temos:
-$$x_m \not \in V_n \text{ se } m \ge n \text{ $(*)$ }$$
+$$x_i \not \in V_j \text{ se } i \ge j \text{ $(*)$ }$$
-Note que, $(V_n)_{n \in \omega}$ é uma cobertura por abertos para $X$. Como $D \subset X$ é infinito, existe $x \in X$ ponto de acumulação de $D$ e $(V_n)_{n \in \omega}$ é uma cobertura de $X$ existe $m_0 \in \omega$, tal que $x \in V_{m_0}$. \\
+Note que, $(V_j)_{j \in \omega}$ é uma cobertura por abertos para $X$. Como $D \subset X$ é infinito, existe $x \in X$ ponto de acumulação de $D$ e $(V_j)_{j \in \omega}$ é uma cobertura de $X$ existe $m_0 \in \omega$, tal que $x \in V_{m_0}$. \\
   * **Construção dos pontos $x_{m_i}$:** Como $x$ é um ponto de acumulação de $D$, existe $m_1 \in \omega$ tal que $x_{m_1} \neq x \text{ e } x_{m_1} \in V_{m_0}$. Pela afirmação $ (*) $, temos $m_1 < m_0$. Como $X$ é $T_1$, o conjunto $X \setminus \{x_{m_1}\}$ é aberto e:
 $$x \in V_{m_0} \cap (X \setminus \{x_{m_1}\})$$
-Como $x$ é um ponto de acumulação de $D$, existe $m_2 \in \omega$ tal que $x_{m_2} \in  V_{m_0} \cap (X \setminus \{x_{m_1}\})$. Particularmente $x_{m_2} \neq x_{m_1}$, então $m_2 \neq m_1$ e $x_{m_2} \neq x$. Pela afirmação $(*)$, temos $m_2 < m_0$. Como $X$ é $T_1$, o conjunto $X \setminus \{x_{m_2}\}$ é aberto e:
+Então, existe $m_2 \in \omega$ tal que $x_{m_2} \in  V_{m_0} \cap (X \setminus \{x_{m_1}\})$. Particularmente $x_{m_2} \neq x_{m_1}$, então $m_2 \neq m_1$ e $x_{m_2} \neq x$. Pela afirmação $(*)$, temos $m_2 < m_0$. Como $X$ é $T_1$, o conjunto $X \setminus \{x_{m_2}\}$ é aberto e:
 $$x \in V_{m_0} \cap (X \setminus \{x_{m_1}\} \cup \{x_{m_2}\})$$
-Como $x$ é um ponto de acumulação podemos continuar esse padrão infinitamente. Mas, ficaremos sem índices distintos para índices $\le m_0$, desde que $\{0, 1, ..., m_{0}-1\}$ é finito. O que é uma contradição.
+Como $x$ é um ponto de acumulação podemos continuar esse processo infinitamente. O conjunto $\{0, 1, ..., m_{0}-1\}$ é finito, o que implica que ficaremos sem índices distintos do estágio $m$ em diante, o que contradiz o fato de $x$ ser ponto de acumulação de $D$.\\

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