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--- solucao:decrescons2 [2015/05/07 15:08]
caio
+++ solucao:decrescons2 [2020/11/06 16:05] (atual)
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-Suponha $S$ infinito. Seja $n_0$ o menor elemento de $S$ (que existe pela boa ordem de $\omega$). Por definição, existem infinitos $k \in \omega$ tal que $x_{n_0} < x_k$. Seja $k_0 \in \omega$ de forma que $x_{k_0}$ é o menor elemento maior que $x_{n_0}$. Agora tome $n_1 \in S$ o menor elemento de $S$ maior que $n_0$ (ou seja, o segundo elemento). Novamente por definição, existem infinitos $k \in \omega$ tal que $x_{n_1} < x_k$. Tome $k_1 \in \omega$ tal que $x_{k_0} < x_{k_1}$. Vamos mostrar por indução que podemos definir uma subsequência crescente $(x_{k_n})_{n\in\omega}$ seguindo o processo estabelecido anteriormente:
+Seja $(x_{n_k})_{k \in \omega}$ a subsequência formada pelos picos, onde $n_k < n_p$ se $k < p$. Note que essa sequência é infinita (pois existem infinitos picos) e é decrescente. De fato, seja $x_{n_k}$ e $x_{n_{k+1}}$. Como $n_k < n_{k+1}$, então $x_{n_k} > x_{n_{k+1}}$. Note também que $x_{n_0}$ é o maior pico, pois $n_0 < n_k, \forall k>0$, portanto $x_{n_0} > x_{n_k}$.
-Suponha a sequência definida até certo $n \in S$. Existem infinitos $k \in \omega$ tal que $x_n < x_k$. Seja $k_n$ o menor elemento de $\omega$ de forma que $x_{k_m} < x_{k_n}$, para todo $m < n$, que existe pois $\{m \in \omega: m < n\}$ é finito. Adicione $x_{k_n}$ a sequência.
-Note que, dessa forma, construimos uma subsequência crescente $(x_{k_n})_{n\in\omega}$, como queríamos.

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