Topologia e conjuntos em exercícios

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mariano 		solucao:complementargrande [2020/11/06 16:05] (atual)
Linha 6: Linha 6:
  
 Agora, dado $k \in \omega$ arbitrário. Vamos ver que $D_k$ é denso.\\ Agora, dado $k \in \omega$ arbitrário. Vamos ver que $D_k$ é denso.\\
-Seja $(s, F) \in \mathbb P$ qualquer, do que foi afirmado acima $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito e como $s$ é finito então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ também é infinito. Seja $t_1 \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1\})$ também é infinito. Assim, podemos escolher recursivamente $t_j \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1,...,t_{j-1}\})$ até obter o conjunto $T=\{t_1,...,t_k\}$ com $k$ elementos diferentes nenhum dos quais pertenece a $s$ nem a $\bigcup F$, isto implica que se $G \in F$ então $T \cap G = \emptyset$. Temos que $|s\cup T|=|s|+|T|=|s|+ k \geq k$, logo $(s \cup T, F) \in D_k$. Temos também que +Seja $(s, F) \in \mathbb P$ qualquer, do que foi afirmado acima $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito e como $s$ é finito então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ também é infinito. Seja $t_1 \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1\})$ também é infinito. Assim, podemos escolher recursivamente $t_j \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1,...,t_{j-1}\})$ até obter o conjunto $T=\{t_1,...,t_k\}$ com $k$ elementos diferentes nenhum dos quais pertence a $s$ nem a $\bigcup F$, isto implica que se $G \in F$ então $T \cap G = \emptyset$. Temos que $|s\cup T|=|s|+|T|=|s|+ k \geq k$, logo $(s \cup T, F) \in D_k$. Ademais:\\ 
 +* $s \subset s \cup T$\\ 
 +* $F \subset F$\\ 
 +* $\forall G \in F: ((s \cup T) \smallsetminus s) \cap G = T \cap G = \emptyset$\\ 
 +Então $(s \cup T, F)\leq (s , F)$ com $(s \cup T, F) \in D_k$.\\ 
 +Portanto, $D_k$ é denso.
solucao/complementargrande.1522724971.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 16:03 (edição externa)

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