Topologia e conjuntos em exercícios

--- solucao:complementargrande [2018/04/02 22:57]
mariano
+++ solucao:complementargrande [2020/11/06 16:05] (atual)
@@ Linha 4: / Linha 4: @@
 Note que $$G\smallsetminus(\omega \smallsetminus \bigcup F) = G\cap \bigcup F = G\cap \bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup_{i=1}^n (G \cap A_i)$$
 Portanto, $\bigcup_{i=1}^n (G \cap A_i)$ é infinito o que é absurdo.
+Agora, dado $k \in \omega$ arbitrário. Vamos ver que $D_k$ é denso.\\
+Seja $(s, F) \in \mathbb P$ qualquer, do que foi afirmado acima $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito e como $s$ é finito então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ também é infinito. Seja $t_1 \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1\})$ também é infinito. Assim, podemos escolher recursivamente $t_j \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1,...,t_{j-1}\})$ até obter o conjunto $T=\{t_1,...,t_k\}$ com $k$ elementos diferentes nenhum dos quais pertence a $s$ nem a $\bigcup F$, isto implica que se $G \in F$ então $T \cap G = \emptyset$. Temos que $|s\cup T|=|s|+|T|=|s|+ k \geq k$, logo $(s \cup T, F) \in D_k$. Ademais:\\
+* $s \subset s \cup T$\\
+* $F \subset F$\\
+* $\forall G \in F: ((s \cup T) \smallsetminus s) \cap G = T \cap G = \emptyset$\\
+Então $(s \cup T, F)\leq (s , F)$ com $(s \cup T, F) \in D_k$.\\
+Portanto, $D_k$ é denso.