Topologia e conjuntos em exercícios

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--- solucao:complementargrande [2018/04/02 21:53]
mariano criada
+++ solucao:complementargrande [2020/11/06 16:05] (atual)
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-Afirmo que se $(s, F) \in \mathbb P$, então $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito.
+Afirmo que se $(s, F) \in \mathbb P$, então $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito.\\
+Com efeito, suponhamos o contrário, isto é, $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é finito. Temos que $F \in [A]^{<\aleph_0}$, isto é, $F \subset A$ e $F$ é finito. Como $A$ é infinito, existe $G \in A$ tal que $G \notin F$.
+Seja $n=|F|$ e escrevemos $F=\{A_1,...,A_n\}$. Logo $G \neq A_i \forall i \in \{1,...,n\}$ e como $A$ é quase disjunta então $G \cap A_i$ é finito $\forall i \in \{1,...,n\}$. Como $G \in A$, $G$ é infinito, então $G\smallsetminus(\omega \smallsetminus \bigcup F)$ também é infinito pois $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é finito.
+Note que $$G\smallsetminus(\omega \smallsetminus \bigcup F) = G\cap \bigcup F = G\cap \bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup_{i=1}^n (G \cap A_i)$$
+Portanto, $\bigcup_{i=1}^n (G \cap A_i)$ é infinito o que é absurdo.
+Agora, dado $k \in \omega$ arbitrário. Vamos ver que $D_k$ é denso.\\
+Seja $(s, F) \in \mathbb P$ qualquer, do que foi afirmado acima $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito e como $s$ é finito então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ também é infinito. Seja $t_1 \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1\})$ também é infinito. Assim, podemos escolher recursivamente $t_j \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1,...,t_{j-1}\})$ até obter o conjunto $T=\{t_1,...,t_k\}$ com $k$ elementos diferentes nenhum dos quais pertence a $s$ nem a $\bigcup F$, isto implica que se $G \in F$ então $T \cap G = \emptyset$. Temos que $|s\cup T|=|s|+|T|=|s|+ k \geq k$, logo $(s \cup T, F) \in D_k$. Ademais:\\
+* $s \subset s \cup T$\\
+* $F \subset F$\\
+* $\forall G \in F: ((s \cup T) \smallsetminus s) \cap G = T \cap G = \emptyset$\\
+Então $(s \cup T, F)\leq (s , F)$ com $(s \cup T, F) \in D_k$.\\
+Portanto, $D_k$ é denso.

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