| Seja $K$ compacto de Hausdorff. $K$ então é $T_1$, considere $F,C \subset K$ fechados disjuntos. $F$ e $C$ são, portanto, compactos em $K$. Sejam $\mathcal{A}$ , $\mathcal{O}$ coberturas abertas de $F$ e $C$,respectivamente. Do [[http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/aurichi/exerc/doku.php?id=lista:compactos#id0_1-28|exercício anterior]], conseguimos para cada $x \in F$ abertos disjuntos $A_x,B_C$ tais que $x \in A$ e $C \subset B$, para cada $x \in F$. Note que $\mathcal{A} = \{A_x | x \in F \} $ é uma cobertura de $F$, portanto existe uma subcobertura finita $\mathcal{A}'= \{ A_{x_1}, ..., A_{x_n} \} \subset \mathcal{A}$ de $F$. Temos que $F \subset U = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n A_{x_i}$, e $C \subset W = \displaystyle \bigcap_{i = 1}^n B_{C_i} $, onde $B_{C_i} \cap A_{x_i} = \emptyset $ e $ C \subset B_{C_i} $ para cada $ i \in \{ 1, ... , n \}$. Como $U$ e $W$ são abertos disjuntos, $K$ é $T_4$, e portanto é normal. | Seja $K$ compacto de Hausdorff. $K$ então é $T_1$. Considere $F,C \subset K$ fechados disjuntos. $F$ e $C$ são, portanto, compactos em $K$. Do [[http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/aurichi/exerc/doku.php?id=lista:compactos#id0_1-28|exercício anterior]], conseguimos para cada $x \in F$ abertos disjuntos $A_x,B_x$ tais que $x \in A_x$ e $C \subset B_x$, para cada $x \in F$. Note que $\mathcal{A} = \{A_x | x \in F \} $ é uma cobertura de $F$, portanto existe uma subcobertura finita $\mathcal{A}'= \{ A_{x_1}, ..., A_{x_n} \} \subset \mathcal{A}$ de $F$. Temos que $F \subset U = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n A_{x_i}$, e $C \subset W = \displaystyle \bigcap_{i = 1}^n B_{C_{x_i}} $, onde $B_{C_{x_i}} \cap A_{x_i} = \emptyset $ e $ C \subset B_{C_{x_i}} $ para cada $ i \in \{ 1, ... , n \}$. Como $U$ e $W$ são abertos disjuntos, $K$ é $T_4$, e portanto é normal. |
