Diferenças

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caio
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 Seja $a_0 \in X$. Seja $c_0 > a_0$, que existe pois $X$ não possui máximo. Pela densidade da ordem, existe $b_0 \in X$ tal que $b_0 \in ]a_0,c_0[$, portanto $a_0 < b_0 < c_0$.
-Suponha as três sequências definidas para $\eta < \xi$. O conjunto $B = \{b_\eta: \eta < \xi\}$ é enumerável. Pela não separabilidade de $X$, existe $A \subset X$ aberto disjunto de $B$. Pela topologia da ordem, $A$ se escreve como um intervalo de $X$. Chame de $a_\xi$ e $c_\xi$ seus extremos, obtendo assim um intervalo $]a_\xi, c_\xi[ \cap \{b_\eta: \eta < \xi\} = \emptyset$. Pela densidade da ordem, existe $b_\xi \in ]a_\xi, c_\xi[$. Adicione $a_\xi, b_\xi$ e $c_\xi$ as suas respectivas sequências.
+Suponha definidos $a_{\eta}, b_{\eta}, c_{\eta}$ para todo $\eta < \xi$. O conjunto $B = \{b_\eta: \eta < \xi\}$ é enumerável. Pela não separabilidade de $X$, existe $A \subset X$ aberto não vazio disjunto de $B$. Note que então existe um intervalo contido em $A$. Chame de $a_\xi$ e $c_\xi$ seus extremos, obtendo assim um intervalo $]a_\xi, c_\xi[ \cap \{b_\eta: \eta < \xi\} = \emptyset$. Pela densidade da ordem, existe $b_\xi \in ]a_\xi, c_\xi[$. Assim definimos os elementos seguintes de cada sequência.

Topologia e conjuntos em exercícios