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-Seja $a_0 \in X$. Seja $c_0 > a_0$, que existe pois $X$ não possui máximo. Pela densidade da ordem, existe $b_0 \in X$ tal que $b_0 \in ]a_0,c_0[$, portanto $a_0 < b_0 < c_0$. Novamente, como $X$ não possui um elemento máximo, existe $a_1 \in X$ tal que $a_1 > c_0$, e $c_1 > a_1$, e pela densidade da ordem, existe $b_1 \in ]a_1, c_1[$. Note que $b_0 \notin ]a_1,c_1[$. Seguindo essa ideia, vamos construir por indução 3 sequências $(a_{\xi})_{\xi \in \omega_1}$, $(b_{\xi})_{\xi \in \omega_1}$ e $(c_{\xi})_{\xi \in \omega_1}$.
+Seja $a_0 \in X$. Seja $c_0 > a_0$, que existe pois $X$ não possui máximo. Pela densidade da ordem, existe $b_0 \in X$ tal que $b_0 \in ]a_0,c_0[$, portanto $a_0 < b_0 < c_0$.
-Suponham definidas as 3 sequências para $\eta \in \omega_1$. Seja $\xi = \eta + 1$. Como $X$ não possui elemento máximo, então existem $a_{\xi}$ e $c_{\xi}$ tais que $c_{\eta} < a_{\xi} < c_{\xi}$. Pela densidade da ordem, existe $b_{\xi} \in ]a_{\xi}, c_{\xi}[$. Basta adicionar $a_{\xi}, b_{\xi} e c_{\xi}$ em suas respectivas sequências.
+Suponha definidos $a_{\eta}, b_{\eta}, c_{\eta}$ para todo $\eta < \xi$. O conjunto $B = \{b_\eta: \eta < \xi\}$ é enumerável. Pela não separabilidade de $X$, existe $A \subset X$ aberto não vazio disjunto de $B$. Note que então existe um intervalo contido em $A$. Chame de $a_\xi$ e $c_\xi$ seus extremos, obtendo assim um intervalo $]a_\xi, c_\xi[ \cap \{b_\eta: \eta < \xi\} = \emptyset$. Pela densidade da ordem, existe $b_\xi \in ]a_\xi, c_\xi[$. Assim definimos os elementos seguintes de cada sequência.
-Note que, definindo as sequências dessa forma, temos que $]a_{\xi}, c_{\xi}[ \cap \{b_{\eta}: \eta < \xi\} = \emptyset$, como queríamos.

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