Topologia e conjuntos em exercícios

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limites:poucotrigo

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limites:poucotrigo [2020/06/15 14:35]
aurichi 		limites:poucotrigo [2020/11/06 14:45] (atual)
Linha 1: Linha 1:
 $\def\sen{\text{sen}}$ $\def\sen{\text{sen}}$
- 
 ======== Um pouco de trigonometria ======== ======== Um pouco de trigonometria ========
  
 +{{ youtube>qlF4cyS_no4?small}}
 <WRAP tip> <WRAP tip>
 Parte da argumentação inicial desta parte se baseará em argumentos mais intuitivos: mas a formalização disso será feita posteriormente. Parte da argumentação inicial desta parte se baseará em argumentos mais intuitivos: mas a formalização disso será feita posteriormente.
Linha 45: Linha 45:
 Primeiramente, como $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ para todo $x$, tal limite não poderia ser $+\infty$ nem $-\infty$ (sabe provar isso?). Então vamos ver que não existe $L \in \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} \cos(x) = L$. Fixe $L \in \mathbb R$. Suponha que exista $M > 0$ tal que, para todo $x > M$ Primeiramente, como $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ para todo $x$, tal limite não poderia ser $+\infty$ nem $-\infty$ (sabe provar isso?). Então vamos ver que não existe $L \in \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} \cos(x) = L$. Fixe $L \in \mathbb R$. Suponha que exista $M > 0$ tal que, para todo $x > M$
 \[|\cos(x) - L| < \frac{1}{2}\] \[|\cos(x) - L| < \frac{1}{2}\]
-Seja $a \in \mathbb N$ tal que $2a > M$. Note que $|\cos(2a) - \cos(2a + 1)| = 2$. Por outro lado, como $2a, 2a + 1 > M$, temos +Seja $a \in \mathbb N$ tal que $2\pi a > M$. Note que $|\cos(2\pi a) - \cos(2\pi a + \pi)| = 2$. Por outro lado, como $2\pi a, 2\pi a + \pi > M$, temos 
-\[|\cos(2a) - \cos(2a + 1)| = |\cos(2a) - L + L - \cos(2a + 1)| \leq |\cos(2a) - L| + |\cos(2a + 1) - L| < 1\]+\[|\cos(2\pi a) - \cos(2\pi a + 1)| = |\cos(2\pi a) - L + L - \cos(2\pi a + \pi)| \leq |\cos(2\pi a) - L| + |\cos(2\pi a + \pi) - L| < 1\]
 contradição.  contradição. 
  
 Por outro lado, temos Por outro lado, temos
  
-**Exemplo $\lim\limits_{x \to +\infty} x - \cos(x) = +\infty$.+**Exemplo** $\lim\limits_{x \to +\infty} x - \cos(x) = +\infty$.
  
 Note que não podemos usar o resultado de "vai para infinito somado com vai para número dá que vai para infinito", pois o limite de $\cos$ não existe, como acabamos de ver. Mas podemos aplicar a definição diretamente. Fixe $K > 0$. Seja $M = K + 1$. Note que, dado $x > M$, temos Note que não podemos usar o resultado de "vai para infinito somado com vai para número dá que vai para infinito", pois o limite de $\cos$ não existe, como acabamos de ver. Mas podemos aplicar a definição diretamente. Fixe $K > 0$. Seja $M = K + 1$. Note que, dado $x > M$, temos
 \[x - \cos(x) > K + 1 - \cos(x) \geq K\]  \[x - \cos(x) > K + 1 - \cos(x) \geq K\] 
 +
 +<WRAP important>
 +O resultado anterior é um caso particular de um resultado geral que veremos em breve - mas talvez já dê para intuir (e provar!) qual o enunciado geral.
 +</WRAP>
  
limites/poucotrigo.1592242535.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:45 (edição externa)

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