Diferenças

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--- limites:poucotrigo [2020/06/15 11:40]
aurichi criada
+++ limites:poucotrigo [2020/11/06 14:45] (atual)
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
 $\def\sen{\text{sen}}$
 ======== Um pouco de trigonometria ========
+{{ youtube>qlF4cyS_no4?small}}
 <WRAP tip>
 Parte da argumentação inicial desta parte se baseará em argumentos mais intuitivos: mas a formalização disso será feita posteriormente.
@@ Linha 18: / Linha 18: @@
   * $|\sen(a) - \sen(b)| \leq |a - b|$
 Um argumento intuitivo (por enquanto) para isso é que $|a - b|$ é menor que a distância entre os pontos $(\cos(a), \sen(a))$ e $(\cos(b), \sen(b))$ que, por sua vez, é menor que o comprimento de arco (andando na circunferência) entre estes dois pontos.
+</WRAP>
+**Proposição** Para qualquer $a \in \mathbb R$, temos
+  * $\lim\limits_{x \to a}\cos(x) = \cos(a)$;
+  * $\lim\limits_{x \to a}\sen(x) = \sen(a)$.
+**Dem.:** Vamos fazer o caso $\cos$ - ou outro é análgo. Seja $\varepsilon > 0$. Considere $\delta = \varepsilon$. Temos que, dado $x \in \mathbb R$ tal que $|x - a| < \delta$ vale
+\[|\cos(x) - \cos(a)| < |x - a| < \delta = \varepsilon.\]
+<WRAP>
+$\square$
+</WRAP>
+Obviamente, podemos usar esse último resultado misturado com os resultados anteriores:
+**Exemplo**
+\[\begin{array}{rcl}
+\lim\limits_{x \to a} \cos(x^2) + 2\sen(x - 1) = \cos(a^2) + 2\sen(a - 1)
+\end{array}\]
+No caso de limites envolvendo infinito, alguns cuidados devem ser tomados:
+**Exemplo** $\lim\limits_{x \to +\infty} \cos(x)$ não existe.
+Primeiramente, como $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ para todo $x$, tal limite não poderia ser $+\infty$ nem $-\infty$ (sabe provar isso?). Então vamos ver que não existe $L \in \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} \cos(x) = L$. Fixe $L \in \mathbb R$. Suponha que exista $M > 0$ tal que, para todo $x > M$
+\[|\cos(x) - L| < \frac{1}{2}\]
+Seja $a \in \mathbb N$ tal que $2\pi a > M$. Note que $|\cos(2\pi a) - \cos(2\pi a + \pi)| = 2$. Por outro lado, como $2\pi a, 2\pi a + \pi > M$, temos
+\[|\cos(2\pi a) - \cos(2\pi a + 1)| = |\cos(2\pi a) - L + L - \cos(2\pi a + \pi)| \leq |\cos(2\pi a) - L| + |\cos(2\pi a + \pi) - L| < 1\]
+contradição.
+Por outro lado, temos
+**Exemplo** $\lim\limits_{x \to +\infty} x - \cos(x) = +\infty$.
+Note que não podemos usar o resultado de "vai para infinito somado com vai para número dá que vai para infinito", pois o limite de $\cos$ não existe, como acabamos de ver. Mas podemos aplicar a definição diretamente. Fixe $K > 0$. Seja $M = K + 1$. Note que, dado $x > M$, temos
+\[x - \cos(x) > K + 1 - \cos(x) \geq K\]
+<WRAP important>
+O resultado anterior é um caso particular de um resultado geral que veremos em breve - mas talvez já dê para intuir (e provar!) qual o enunciado geral.
 </WRAP>

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