Topologia e conjuntos em exercícios

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limites:limitadas

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limites:limitadas [2020/06/22 14:14]
aurichi 		limites:limitadas [2020/11/06 14:45] (atual)
Linha 1: Linha 1:
 $\def\sen{\text{sen}}$ $\def\sen{\text{sen}}$
 ======== Funções limitadas ======== ======== Funções limitadas ========
 +
 +{{ youtube>tWsFzQaNqDY?small}}
  
 <WRAP info> <WRAP info>
-Dizemos que $f: \mathbb R \to \mathbb R$ é uma função limitada se existe $L > 0$ tal que, para todo $x \in \mathbb R$, $|f(x)| \leq L$. Neste caso dizemos que $L$ é um limitante para $f$. +Dizemos que uma função real $f$ é uma função limitada se existe $L > 0$ tal que, para todo $x \in \mathbb R$, $|f(x)| \leq L$. Neste caso dizemos que $L$ é um limitante para $f$.  
 +</WRAP> 
 + 
 +<WRAP important> 
 +Em todos os limites aqui considerados, quando indicamos $x \to a$, $a$ pode ser tanto um número real, como $+\infty$ ou $-\infty$.
 </WRAP> </WRAP>
  
Linha 13: Linha 19:
 O próximo lema ajuda nos resultados posteriores: O próximo lema ajuda nos resultados posteriores:
  
-**Lema** Seja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ uma função. Então $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ se, e somente se, $\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = 0$. +**Lema** Seja $f$ função real. Então $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ se, e somente se, $\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = 0$. 
  
 **Dem.:**  Suponha que $\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = 0$. Então, como **Dem.:**  Suponha que $\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = 0$. Então, como
 \[-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|\] \[-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|\]
-obtemos, usando o [[limites:Sanduiche|Teorema do Sanduíche]], obtemos que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$.+obtemos, usando o [[limites:Sanduiche|Teorema do Sanduíche]], que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$.
  
 O outro lado fazemos pela definição: dado $\varepsilon > 0$, sabemos que existe $\delta > 0$ tal que O outro lado fazemos pela definição: dado $\varepsilon > 0$, sabemos que existe $\delta > 0$ tal que
Linha 28: Linha 34:
 </WRAP> </WRAP>
  
-**Proposicao**  Sejam $f: \mathbb R \to \mathbb R$, $g: \mathbb R \to \mathbb R$ funções tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ e $g$ é limitada. Então $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) = 0$. +**Proposicao**  Sejam $f$ e $g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ e $g$ é limitada. Então $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) = 0$. 
  
 **Dem.:** Pelo lema anterior, temos que basta provar que $\lim\limits_{x \to a}|f(x)g(x)| = 0$.  **Dem.:** Pelo lema anterior, temos que basta provar que $\lim\limits_{x \to a}|f(x)g(x)| = 0$. 
 Seja $L$ um limitante para $g$. Temos  Seja $L$ um limitante para $g$. Temos 
-\[0 \leq |f(x)g(x)| \leq Lf(x)\] +\[0 \leq |f(x)g(x)| \leq L|f(x)|\] 
-Pelo lema anterior, $\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = 0$. Como o limite da função constante igual a $0$ é $0$, temos, pelo [[limites:sanduiche|Teorema do Sanduíche]] o resultado. +Pelo lema anterior, $\lim\limits_{x \to a} |f(x)| = 0$ (e, portanto, $\lim\limits_{x \to a} L|f(x)| = 0$). Como o limite da função constante igual a $0$ é $0$, temos, pelo [[limites:sanduiche|Teorema do Sanduíche]] o resultado desejado. 
  
 <WRAP right> <WRAP right>
Linha 41: Linha 47:
  
 **Exemplo**  $\lim\limits_{x \to 0} x \sen(\frac{1}{x}) = 0$. **Exemplo**  $\lim\limits_{x \to 0} x \sen(\frac{1}{x}) = 0$.
 +
 +<WRAP tip>
 +No último exemplo, foi importante o seguinte fato: se $f$ e $g$ são funções reais e $f$ é limitada, então $f \circ g$ é limitada. 
 +</WRAP>
 +
 +**~~#~~** Cuidado com a observação acima. Dê um exemplo de uma $f$ limitada e de uma $g$ de forma que $g \circ f$ não seja limitada. 
  
 **Proposição** Soma de limitadas é limitada. Produto de limitadas é limitada. **Proposição** Soma de limitadas é limitada. Produto de limitadas é limitada.
Linha 46: Linha 58:
 **Dem.:** Sejam $f$ e $g$ limitadas. Sem perda de generalidade, podemos supor ambas limitadas por $L$ (tomando um limitante para cada função, é só escolher o maior dos limitantes). Temos **Dem.:** Sejam $f$ e $g$ limitadas. Sem perda de generalidade, podemos supor ambas limitadas por $L$ (tomando um limitante para cada função, é só escolher o maior dos limitantes). Temos
 \[|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq 2L\] \[|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq 2L\]
-\[|f(x)g(x)| \leq |f(x)||g(x)| \leq L^2\]+\[|f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| \leq L^2\]
 <WRAP right> <WRAP right>
 $\square$ $\square$
Linha 66: Linha 78:
 **Exemplo** $\lim\limits_{x \to +\infty} x + \sen(x^2) = +\infty$.  **Exemplo** $\lim\limits_{x \to +\infty} x + \sen(x^2) = +\infty$. 
  
-<WRAP tip> +**~~#~~** Enuncie e demonstre os resultados análogos aos apresentados aqui envolvendo limites laterais.
-No último exemplo, foi importante o seguinte fato: se $f$ e $g$ são funções reais e $f$ é limitada, então $f \circ g$ é limitada.  +
-</WRAP>+
  
limites/limitadas.1592846066.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:45 (edição externa)

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