Diferenças

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--- integral:primitivas [2020/07/30 15:37]
aurichi
+++ integral:primitivas [2020/11/06 14:45] (atual)
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 ======== Algumas primitivas ========
+{{ youtube>5_YYKjGtSZM?small}}
 <WRAP info>
 Dizemos que $F$ é uma **primitiva** de $f$ se $F'(x) = f(x)$ para todo $x$.
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 <WRAP tip>
-Para uma função positiva $f$. Note que, como $\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx$ é a média de $f$ em $[a, b]$, a área entre o eixo $x$ e o gráfico de $f$ no intervalo $[a, b]$ é dada por $(b - a) \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(x)dx$
+Considere uma função positiva $f$. Note que, como $\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx$ é a média de $f$ em $[a, b]$, a área entre o eixo $x$ e o gráfico de $f$ no intervalo $[a, b]$ é dada por $(b - a) \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(x)dx$
 </WRAP>
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 O problema ocorre quando a função fica negativa: a resposta da integral dá a área entre o gráfico da função e o eixo $x$, mas com sinal trocado.
-**Exemplo** $\int_{0}^2 -x^2 dx = (-\frac{x^3}{3})|_0^2 = -\frac{8}{3} + 0$.
+**Exemplo** $\int_{0}^2 -x^2 dx = (-\frac{x^3}{3})|_0^2 = -\frac{8}{3}$.
 Assim, precisamos tomar cuidado quando a função "troca de sinal":
-\begin{exemplo}
+**Exemplo** Se quisermos calcular a área entre o gráfico de $sen(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[0, 2\pi]$, precisamos tomar cuidado com o sinal da função. Lembre que $\sen(x)$ é positiva entre $0$ e $\pi$ e negativa entre $\pi$ e $2\pi$. Assim a área desejada é calculada por
-Se quisermos calcular a área entre o gráfico de $sen(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[0, 2\pi]$, precisamos tomar cuidado com o sinal da função. Lembre que $\sen(x)$ é positiva entre $0$ e $\pi$ e negativa entre $\pi$ e $2\pi$. Assim a área desejada é calculada por
-\[\int_0^{\pi} sen(x) dx + (-\int_{\pi}^{2\pi} sen(x)dx) = -\cos(x)|0^{\pi} - (-cos(x))|_\pi^{2\pi}) = -\cos(\pi) + \cos(0) + \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]
+\[\int_0^{\pi} \sen(x) dx + (-\int_{\pi}^{2\pi} \sen(x)dx) = -\cos(x)|_0^{\pi} - (-\cos(x))|_\pi^{2\pi}) = -\cos(\pi) + \cos(0) + \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]
 Enquanto que um "cálculo descuidado", daria
-\[\int_{0}^{2\pi} sen(x) dx = -\cos(x)|_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0.\]
+\[\int_{0}^{2\pi} \sen(x) dx = -\cos(x)|_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0.\]

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