Topologia e conjuntos em exercícios

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--- integral:logaritmo [2020/08/03 17:05]
aurichi
+++ integral:logaritmo [2020/11/06 14:45] (atual)
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
 ======== Logaritmos ========
-{{ youtube>sPP1xGKfadk?small}}
+{{ youtube>157fjIf4SVM?small}}
 <WRAP tip>
 Nosso objetivo agora é definir a função logaritmo. O caminho vai ser bem indireto e a sua conexão com as funções com as quais já estamos acostumados vai vir só depois.
@@ Linha 14: / Linha 14: @@
 \[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\]
-**Dem.:** Fazendo a mudança $\varphi(x) = cx$, temos que $\varphi'(x) = c$. Assim
+**Dem.:** Fazendo a mudança $v(t) = ct$, temos que $dv = cdt$. Assim
-\[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{x}dx.\]<wrap right>$\square$</wrap>
+\[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{v}dv.\]<wrap right>$\square$</wrap>
 **Proposição** $\frac{1}{2} < F(2) < 1$.
@@ Linha 27: / Linha 27: @@
 **Dem.:** Note que, pelo primeiro lema, temos para qualquer $1 \leq j \leq n$,
-\[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^{2^j} \frac{1}{t}dt\]
+\[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^2 \frac{1}{t}dt\]
 Logo, pelo segundo lema, temos:
-\[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} \frac{1}{t} dt > \sum_{j = 1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\]<wrap right>$\square$</wrap>
+\[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} \frac{1}{t} dt = \sum_{j = 1}^n \int_1^2 \frac{1}{t}dt > \sum_{j = 1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\]<wrap right>$\square$</wrap>
 <WRAP info>

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