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integral:logaritmo
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integral:logaritmo [2020/08/03 16:33] aurichi |
integral:logaritmo [2020/11/06 14:45] (atual) |
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| Linha 1: | Linha 1: | ||
| ======== Logaritmos ======== | ======== Logaritmos ======== | ||
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| <WRAP tip> | <WRAP tip> | ||
| Nosso objetivo agora é definir a função logaritmo. O caminho vai ser bem indireto e a sua conexão com as funções com as quais já estamos acostumados vai vir só depois. | Nosso objetivo agora é definir a função logaritmo. O caminho vai ser bem indireto e a sua conexão com as funções com as quais já estamos acostumados vai vir só depois. | ||
| Linha 13: | Linha 14: | ||
| \[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\] | \[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\] | ||
| - | **Dem.:** Fazendo a mudança $\varphi(x) = cx$, temos que $\varphi' | + | **Dem.:** Fazendo a mudança $v(t) = ct$, temos que $dv = cdt$. Assim |
| - | \[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{x}dx.\]<wrap right> | + | \[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{v}dv.\]<wrap right> |
| **Proposição** $\frac{1}{2} < F(2) < 1$. | **Proposição** $\frac{1}{2} < F(2) < 1$. | ||
| Linha 26: | Linha 27: | ||
| **Dem.:** Note que, pelo primeiro lema, temos para qualquer $1 \leq j \leq n$, | **Dem.:** Note que, pelo primeiro lema, temos para qualquer $1 \leq j \leq n$, | ||
| - | \[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^{2^j} \frac{1}{t}dt\] | + | \[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^2 \frac{1}{t}dt\] |
| Logo, pelo segundo lema, temos: | Logo, pelo segundo lema, temos: | ||
| - | \[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} \frac{1}{t} dt > \sum_{j = 1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\]< | + | \[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} |
| <WRAP info> | <WRAP info> | ||
| Linha 60: | Linha 61: | ||
| * Como $(x^{\frac{1}{n}})^n = x$, temos $n\ln x^{\frac{1}{n}} = \ln x$.<wrap right> | * Como $(x^{\frac{1}{n}})^n = x$, temos $n\ln x^{\frac{1}{n}} = \ln x$.<wrap right> | ||
| - | **Proposição** Dados $x > 0$ e $q \in \mathbb Q$ temos $\ln x^r = r \ln x$. | + | **Proposição** Dados $x > 0$ e $r \in \mathbb Q$ temos $\ln x^r = r \ln x$. |
| **Dem.:** Note que, caso $r = 0$, temos que o resultado vale. Suponha $r = \frac{m}{n}$ com $m, n \in \mathbb N$. Então $\ln x^{\frac{m}{n}} = \ln (x^m)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \ln x^m = \frac{m}{n} \ln x$. Caso $r < 0$, temos $\ln x^r = \ln (x^{-1})^{-r} = -r \ln \frac{1}{x} = r \ln x$. <wrap right> | **Dem.:** Note que, caso $r = 0$, temos que o resultado vale. Suponha $r = \frac{m}{n}$ com $m, n \in \mathbb N$. Então $\ln x^{\frac{m}{n}} = \ln (x^m)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \ln x^m = \frac{m}{n} \ln x$. Caso $r < 0$, temos $\ln x^r = \ln (x^{-1})^{-r} = -r \ln \frac{1}{x} = r \ln x$. <wrap right> | ||
integral/logaritmo.1596483200.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:45 (edição externa)
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