Topologia e conjuntos em exercícios

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integral:logaritmo

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integral:logaritmo [2020/08/03 16:19]
aurichi 		integral:logaritmo [2020/11/06 14:45] (atual)
Linha 1: Linha 1:
 ======== Logaritmos ======== ======== Logaritmos ========
  
 +{{ youtube>157fjIf4SVM?small}}
 <WRAP tip> <WRAP tip>
 Nosso objetivo agora é definir a função logaritmo. O caminho vai ser bem indireto e a sua conexão com as funções com as quais já estamos acostumados vai vir só depois. Nosso objetivo agora é definir a função logaritmo. O caminho vai ser bem indireto e a sua conexão com as funções com as quais já estamos acostumados vai vir só depois.
Linha 13: Linha 14:
 \[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\] \[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\]
  
-**Dem.:** Fazendo a mudança $\varphi(x) = cx$, temos que $\varphi'(x) = c$. Assim +**Dem.:** Fazendo a mudança $v(t) = ct$, temos que $dv = cdt$. Assim 
-\[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{x}dx.\]<wrap right>$\square$</wrap>+\[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{v}dv.\]<wrap right>$\square$</wrap>
  
 **Proposição** $\frac{1}{2} < F(2) < 1$.   **Proposição** $\frac{1}{2} < F(2) < 1$.  
Linha 26: Linha 27:
  
 **Dem.:** Note que, pelo primeiro lema, temos para qualquer $1 \leq j \leq n$,  **Dem.:** Note que, pelo primeiro lema, temos para qualquer $1 \leq j \leq n$, 
-\[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^{2^j} \frac{1}{t}dt\]+\[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^2 \frac{1}{t}dt\]
 Logo, pelo segundo lema, temos: Logo, pelo segundo lema, temos:
-\[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} \frac{1}{t} dt > \sum_{j = 1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\]<wrap right>$\square$</wrap>+\[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} \frac{1}{t} dt = \sum_{j = 1}^n \int_1^2 \frac{1}{t}dt > \sum_{j = 1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\]<wrap right>$\square$</wrap> 
 + 
 +<WRAP info> 
 +Com isso podemos definir o número real $e$: 
 +</WRAP>
  
 **Proposição** Existe um único real, que chamaremos de $e$, tal que $F(e) = 1$. **Proposição** Existe um único real, que chamaremos de $e$, tal que $F(e) = 1$.
  
 **Dem.:** Primeiramente, note que $F(4) = F(2^2) > 1$. Note também que $F(2) < 1 < F(4)$. Como $F$ é contínua, existe $e \in \mathbb R$ tal que $F(e) = 1$. A unicidade segue do fato que $F'(x) = \frac{1}{x} > 0$ e, portanto, $F$ ser uma função estritamente crescente. <wrap right>$\square$</wrap>  **Dem.:** Primeiramente, note que $F(4) = F(2^2) > 1$. Note também que $F(2) < 1 < F(4)$. Como $F$ é contínua, existe $e \in \mathbb R$ tal que $F(e) = 1$. A unicidade segue do fato que $F'(x) = \frac{1}{x} > 0$ e, portanto, $F$ ser uma função estritamente crescente. <wrap right>$\square$</wrap> 
 +
 +<WRAP info>
 +A função $F$ será a função logaritmo - apesar do motivo disso ainda não estar claro. Como os próximos resultados precisarão ser referenciados no futuro, vamos já usar a notação $\ln(x) = F(x) = \int_1^x \frac{1}{x}dx$.  
 +</WRAP>
  
 **Proposição** Dados $x, y > 0$, temos que  **Proposição** Dados $x, y > 0$, temos que 
Linha 40: Linha 49:
  
 **Dem.:**  **Dem.:** 
-  * $\ln xy  = \int_1^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_x^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_1^{y}\frac{1}{t}dt = F(x) + F(y)$.+  * $\ln xy  = \int_1^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_x^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_1^{y}\frac{1}{t}dt$.
   * Note que $\ln \frac{1}{x} + \ln x = \ln(\frac{1}{x} x) = 0$.   * Note que $\ln \frac{1}{x} + \ln x = \ln(\frac{1}{x} x) = 0$.
   * $\ln \frac{x}{y} = \ln x \frac{1}{y} = \ln x + \ln \frac{1}{y} = \ln x - \ln y$. <wrap right>$\square$</wrap>   * $\ln \frac{x}{y} = \ln x \frac{1}{y} = \ln x + \ln \frac{1}{y} = \ln x - \ln y$. <wrap right>$\square$</wrap>
Linha 50: Linha 59:
 **Dem.:**  **Dem.:** 
   * $\ln x^n = \ln x + \ln x^{n - 1} = \cdots = n \ln x$.   * $\ln x^n = \ln x + \ln x^{n - 1} = \cdots = n \ln x$.
-  * $(x^{\frac{1}{n}})^n = x$, temos $n\ln x^{\frac{1}{n}} = \ln x$.<wrap right>$\square$</wrap>+  * Como $(x^{\frac{1}{n}})^n = x$, temos $n\ln x^{\frac{1}{n}} = \ln x$.<wrap right>$\square$</wrap>
  
-**Proposição** Dados $x > 0$ e $q \in \mathbb Q$ temos $\ln x^r = r \ln x$.+**Proposição** Dados $x > 0$ e $r \in \mathbb Q$ temos $\ln x^r = r \ln x$.
  
 **Dem.:** Note que, caso $r = 0$, temos que o resultado vale. Suponha $r = \frac{m}{n}$ com $m, n \in \mathbb N$. Então $\ln x^{\frac{m}{n}} = \ln (x^m)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \ln x^m = \frac{m}{n} \ln x$. Caso $r < 0$, temos $\ln x^r = \ln (x^{-1})^{-r} = -r \ln \frac{1}{x} = r \ln x$. <wrap right>$\square$</wrap> **Dem.:** Note que, caso $r = 0$, temos que o resultado vale. Suponha $r = \frac{m}{n}$ com $m, n \in \mathbb N$. Então $\ln x^{\frac{m}{n}} = \ln (x^m)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \ln x^m = \frac{m}{n} \ln x$. Caso $r < 0$, temos $\ln x^r = \ln (x^{-1})^{-r} = -r \ln \frac{1}{x} = r \ln x$. <wrap right>$\square$</wrap>
Linha 64: Linha 73:
  
 **Dem.:** Defina $a = \frac{1}{x}$. Assim: **Dem.:** Defina $a = \frac{1}{x}$. Assim:
-\[\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = \lim\limits_{a \to +\infty} \frac{1}{a} = \lim\limits_{a \to +\infty} -\ln a = -\infty\]<wrap right>$\square$</wrap>+\[\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = \lim\limits_{a \to +\infty} \ln\frac{1}{a} = \lim\limits_{a \to +\infty} -\ln a = -\infty\]<wrap right>$\square$</wrap>
  
integral/logaritmo.1596482389.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:45 (edição externa)

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