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aurichi
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 ======== Integrais impróprias II ========
+{{ youtube>jr-K8Hs6vog?small}}
 <WRAP important>
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 **Exemplo** Considere $f(x) = \frac{1}{x}$. Temos $\int_0^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (\ln 1 - \ln t) = +\infty$.
-**Exemplo**  Considere $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Temos que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})|_t^1 = \lim\limits_{t \to 0^+} \frac{1}{2} (1 - t^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.
+**Exemplo**  Considere $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Temos que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (2x^{\frac{1}{2}})|_t^1 = \lim\limits_{t \to 0^+} 2 (1 - t^{\frac{1}{2}}) = 2$.
-**~~#~~** Para $p > 0$, determine $\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx$. Atenção, você vai ter que quebrar em alguns casos. Olhe [[integral:improprias|aqui]] para se inspirar.
+**~~#~~** Para $p > 0$, determine $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$. Atenção, você vai ter que quebrar em alguns casos. Olhe [[integral:improprias|aqui]] para se inspirar.
 <WRAP info>
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 <WRAP tip>
-Cuidado, a definição anterio não é o limite de $\int_{-t}^t f(x)dx$.
+Cuidado, a definição anterior não é o limite de $\int_{-t}^t f(x)dx$.
 </WRAP>
-**Exemplo** Primeiramente, vamos calcular $\int_a^b xe^{-x}dx$. Fazendo por partes, chamando $u(x) = x$ e $v'(x) = e^{-x}$ e, portanto, $u'(x) = 1$ e $v(x) = -e^{-x}$, temos
-\[\int_a^b xe^{-x}dx = (-xe^{-x})|_a^b - \int_a^b(-e^{-x})dx = (-xe^{-x} - e^{-x})|_a^b.\]
-Assim
-\[\begin{array}{rcl}
-\int_0^{+\infty} xe^{-x}dx & = & \lim\limits_{t \to +\infty}(-x e^{-x} - e^{-x})|_0^t\\
-& = & \lim\limits_{t \to +\infty} -te^{-t} - e^{-t} + 1\\
-& = & 1
-\end{array}\]
-**Exemplo** Com $n > 1$, temos que (novamente por partes)
-\[\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to + \infty}(-x^n e^{-x})|_0^t + n \lim\limits_{t \to +\infty}\int_0^{+\infty} x^{n - 1}e^{-x}dx\]
-Por indução segue que $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx = n!$.

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