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--- integral:impropriasii [2020/08/07 14:10]
aurichi criada
+++ integral:impropriasii [2020/11/06 14:45] (atual)
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
 ======== Integrais impróprias II ========
+{{ youtube>jr-K8Hs6vog?small}}
 <WRAP important>
-Se $f(x) \leq g(x)$ somente a partir de um certo ponto $p$, ainda vale o resultado anterior, basta usar que
+Um erro comum é o seguinte: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = (-\frac{1}{x})|_{-1}^1 = -2$. Qual é o erro?
-\[\int_a^{+\infty} f(x) dx = \int_a^p f(x) dx + \int_p^{+ \infty} f(x) dx.\]
 </WRAP>
+Por enquanto, só trabalhamos com integrais de funções limitadas (pois contínuas num intervalo fechado). Mas ainda assim podemos tentar calcular em pontos de ilimitação:
-\begin{observacao}
+<WRAP info>
-  Um erro comum é o seguinte: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = (-\frac{1}{x})|_{-1}^1 = -2$. Qual é o erro?
+Seja $f: [a, b[ \to \mathbb R$ contínua. Se $f$ é integrável em $[a, c]$ para todo $c$ tal que $a < c < b$, então definimos
-\end{observacao}
+\[\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx\]
+se tal limite existir.  A definição é análoga para $]a, b]$.
+</WRAP>
-O teorema fundamental do cálculo foi provado supondo a função limitada (pois contínua num intervalo fechado). Mas ainda assim podemos tentar calcular em pontos de ilimitação:
+**Exemplo** Considere $f(x) = \frac{1}{x}$. Temos $\int_0^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (\ln 1 - \ln t) = +\infty$.
-\begin{definicao}
+**Exemplo**  Considere $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Temos que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (2x^{\frac{1}{2}})|_t^1 = \lim\limits_{t \to 0^+} 2 (1 - t^{\frac{1}{2}}) = 2$.
-  Seja $f: [a, b[ \Em \RR$ contínua. Se $f$ é integrável em $[a, c]$ para todo $c$ tal que $a < c < b$, então definimos
-$$\int_a^b f(x) dx = \Lim_{t \Em b^-} \int_a^t f(x) dx$$
-se tal limite existir. Nomenclatura análoga à anterior e definição análoga para $]a, b]$.
-\end{definicao}
-\begin{exemplo}
+**~~#~~** Para $p > 0$, determine $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$. Atenção, você vai ter que quebrar em alguns casos. Olhe [[integral:improprias|aqui]] para se inspirar.
-  Considere $f(x) = \frac{1}{x}$. Temos $\int_0^1 \frac{1}{x}dx = \Lim_{t \Em 0^+} \int_t^1 f(x) = \Lim_{t \Em 0^+} (\ln 1 - \ln t) = +\infty$.
-\end{exemplo}
-\begin{exemplo}
+<WRAP info>
-  Considere $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Temos que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \Lim_{t \Em 0^+} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \Lim_{t \Em 0^+} (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})|_t^1 = \Lim_{t \Em 0^+} \frac{1}{2} (1 - t^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$
+Definimos $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx$ se, para qualquer $a \in \mathbb R$, temos que $\int_{-\infty}^a f(x)dx$ e $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ forem convergentes. Neste caso
-\end{exemplo}
+\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^a f(x)dx + \int_a^{+\infty}f(x) dx\]
+</WRAP>
-\begin{exercicio}
+<WRAP tip>
-  Provar o análogo à Proposição \ref{convergencia potencia}.
+Cuidado, a definição anterior não é o limite de $\int_{-t}^t f(x)dx$.
-\end{exercicio}
+</WRAP>
-\begin{definicao}
-  Definimos $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx$ se, para qualquer $a \in \RR$, temos que $\int_{-\infty}^a f(x)dx$ e $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ forem convergentes. Neste caso
-$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^a f(x)dx + \int_a^{+\infty}f(x) dx$$
-\end{definicao}
-(é diferente do limite $\int_{-t}^t f(x)dx$.)
-\begin{exemplo}
-Primeiramente, vamos calcular $\int_a^b xe^{-x}dx$. Fazendo por partes, chamando $u(x) = x$ e $v'(x) = e^{-x}$ e, portanto, $u'(x) = 1$ e $v(x) = -e^{-x}$, temos
-$$\int_a^b xe^{-x}dx = (-xe^{-x})|_a^b - \int_a^b(-e^{-x})dx = (-xe^{-x} - e^{-x})|_a^b$$
-Assim
-$$\begin{array}{rcl}
-    \int_0^{+\infty} xe^{-x}dx & = & \Lim_{t \Em +\infty}(-x e^{-x} - e^{-x})|_0^t\\
-    & = & \Lim_{t \Em +\infty} -te^{-t} - e^{-t} + 1\\
-    & = & 1
-  \end{array}$$
-\end{exemplo}
-\begin{exemplo}
-  Com $n > 1$, temos que (novamente por partes)
-$$\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx = \Lim_{t \Em + \infty}(-x^n e^{-x})|_0^t + n \Lim_{t \Em +\infty}\int_0^{+\infty} x^{n - 1}e^{-x}dx$$
-Por indução segue que $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx = n!$.
-\end{exemplo}

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