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integral:improprias [2020/08/07 11:42] aurichi |
integral:improprias [2020/11/06 14:45] (atual) |
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| Linha 2: | Linha 2: | ||
| ======== Integrais impróprias ======== | ======== Integrais impróprias ======== | ||
| + | {{ youtube> | ||
| <WRAP info> | <WRAP info> | ||
| Dada $f: [a, +\infty[ \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[a, b]$, definimos | Dada $f: [a, +\infty[ \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[a, b]$, definimos | ||
| Linha 22: | Linha 23: | ||
| **Exemplo** Se $p > 0$ e $p \neq 1$, temos | **Exemplo** Se $p > 0$ e $p \neq 1$, temos | ||
| \[\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (\frac{1}{1 - p} x^{1 - p})|_1^t = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{1}{1 - p} t^{1 - p} - \frac{1}{1 - p}.\] | \[\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (\frac{1}{1 - p} x^{1 - p})|_1^t = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{1}{1 - p} t^{1 - p} - \frac{1}{1 - p}.\] | ||
| - | Assim, se $p > 1$, temos que $1 - p < 0$, logo a integral converge para $\frac{1}{1 - p}$. Se $p < 1$, $1 - p > 0$. Logo a integral vale $+\infty$. | + | Assim, se $p > 1$, temos que $1 - p < 0$, logo a integral converge para $\frac{1}{p |
| Linha 29: | Linha 30: | ||
| **Proposição** Para $p > 0$ | **Proposição** Para $p > 0$ | ||
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| - | \[\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^p} = \begin{cases} | + | \[\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^p} |
| \frac{1}{p - 1} & \mbox{se } p > 1\\ | \frac{1}{p - 1} & \mbox{se } p > 1\\ | ||
| +\infty & \mbox{se } p \leq 1\\ | +\infty & \mbox{se } p \leq 1\\ | ||
| \end{cases}\] | \end{cases}\] | ||
| + | |||
| + | **~~#~~** Esse é um exercício bacana que mistura algumas coisas que fizemos. | ||
| + | |||
| + | **~~#.#~~** Calcule $\int_a^b xe^{-x}dx$. | ||
| + | |||
| + | **~~#.#~~** Calcule $\int_0^{+\infty} xe^{-x}dx$. | ||
| + | |||
| + | **~~#.#~~** Para $n > 1$, calcule $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx$. | ||
| Pelo que desenvolvemos sobre limites, temos que: | Pelo que desenvolvemos sobre limites, temos que: | ||
| Linha 41: | Linha 50: | ||
| <WRAP tip> | <WRAP tip> | ||
| Se $f(x) \leq g(x)$ somente a partir de um certo ponto $p$, ainda vale o resultado anterior, basta usar que | Se $f(x) \leq g(x)$ somente a partir de um certo ponto $p$, ainda vale o resultado anterior, basta usar que | ||
| - | \[\int_a^+\infty f(x) dx = \int_a^p f(x) dx + \int_p^{+ \infty} f(x) dx.\] | + | \[\int_a^{+\infty} f(x) dx = \int_a^p f(x) dx + \int_p^{+ \infty} f(x) dx.\] |
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integral/improprias.1596811359.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:45 (edição externa)
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