Diferenças

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--- integral:improprias [2020/08/07 10:53]
aurichi criada
+++ integral:improprias [2020/11/06 14:45] (atual)
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+$\def\sen{\text{sen}}$
 ======== Integrais impróprias ========
+{{ youtube>sNO7LM6H-7o?small}}
 <WRAP info>
 Dada $f: [a, +\infty[ \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[a, b]$, definimos
@@ Linha 8: / Linha 10: @@
 **Exemplo**
-\[\int_0^{+\infty} e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_0^t e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (-e^{-x})_0^t = \lim\limits_{t \to +\infty} (1 - e^{-t}) = 1.\]
+\[\int_0^{+\infty} e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_0^t e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (-e^{-x})|_0^t = \lim\limits_{t \to +\infty} (1 - e^{-t}) = 1.\]
 **Exemplo** Se $r \neq 0$, temos que
@@ Linha 20: / Linha 22: @@
 **Exemplo** Se $p > 0$ e $p \neq 1$, temos
-\[\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (\frac{1}{1 - p} x^{1 - p})|_1^t = \lim\limits_{t \to +\infty} (\frac{1}{1 - p} t^{1 - p} - \frac{1}{1 - p}.\]
+\[\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (\frac{1}{1 - p} x^{1 - p})|_1^t = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{1}{1 - p} t^{1 - p} - \frac{1}{1 - p}.\]
-Assim, se $p > 1$, temos que $1 - p < 0$, logo a integral converge para $\frac{1}{1 - p}$. Se $p < 1$, $1 - p > 0$. Logo a integral vale $+\infty$.
+Assim, se $p > 1$, temos que $1 - p < 0$, logo a integral converge para $\frac{1}{p - 1}$. Se $p < 1$, $1 - p > 0$. Logo a integral vale $+\infty$.
@@ Linha 28: / Linha 30: @@
 **Proposição** Para $p > 0$
-\[\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^p} = \begin{cases}
+\[\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx= \begin{cases}
-\frac{1}{p - 1} & \\mbox{se } p > 1\\
+\frac{1}{p - 1} & \mbox{se } p > 1\\
 +\infty & \mbox{se } p \leq 1\\
 \end{cases}\]
+**~~#~~** Esse é um exercício bacana que mistura algumas coisas que fizemos.
+**~~#.#~~** Calcule $\int_a^b xe^{-x}dx$.
+**~~#.#~~** Calcule $\int_0^{+\infty} xe^{-x}dx$.
+**~~#.#~~** Para $n > 1$, calcule $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx$.
 Pelo que desenvolvemos sobre limites, temos que:
 **Proposição**
-Sejam $f, g: [0, +\infty[$ integraveis em qualquer intervalo $[a, b]$. Se $0 \leq f(x) \leq g(x)$, então se $\int_a^{+\infty} f(x) = +\infty$, então $\int_a^{+\infty} g(x) = +\infty$. Se $\int_a^{+\infty} g(x) = L \in \mathbb R$, então $\int_a^{+\infty} f(x) \leq L$.
+Sejam $f, g: [a, +\infty[$ integraveis em qualquer intervalo $[a, b]$. Se $0 \leq f(x) \leq g(x)$, então se $\int_a^{+\infty} f(x) = +\infty$, então $\int_a^{+\infty} g(x) = +\infty$. Se $\int_a^{+\infty} g(x) = L \in \mathbb R$, então $\int_a^{+\infty} f(x) \leq L$.
 <WRAP tip>
 Se $f(x) \leq g(x)$ somente a partir de um certo ponto $p$, ainda vale o resultado anterior, basta usar que
-\[\int_a^+\infty f(x) dx = \int_a^p f(x) dx + \int_p^{+ \infty} f(x) dx.\]
+\[\int_a^{+\infty} f(x) dx = \int_a^p f(x) dx + \int_p^{+ \infty} f(x) dx.\]
-</WRAP>
-<WRAP important>
-Um erro comum é o seguinte: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = (-\frac{1}{x})|_{-1}^1 = -2$. Qual é o erro?
 </WRAP>

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