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integral:fundamental [2020/07/29 15:17] aurichi |
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| Linha 1: | Linha 1: | ||
| ======== Teorema fundamental do Cálculo ======== | ======== Teorema fundamental do Cálculo ======== | ||
| + | {{ youtube> | ||
| <WRAP info> | <WRAP info> | ||
| Denotaremos por $\int_b^a f(x)dx$ a expressão $-\int_a^b f(x) dx$ se $a < b$. | Denotaremos por $\int_b^a f(x)dx$ a expressão $-\int_a^b f(x) dx$ se $a < b$. | ||
| Linha 19: | Linha 20: | ||
| * se $f(x) \leq g(x)$ para todo $x$, $\int_a^b f(x) \leq \int_a^b g(x)$. | * se $f(x) \leq g(x)$ para todo $x$, $\int_a^b f(x) \leq \int_a^b g(x)$. | ||
| - | **Teorema (Fundamental do Cálculo)** Seja $I$ um intervalo fechado, limitado e que não seja apenas um ponto. Sejam $f: I \to \mathbb R$ uma função contínua e $F: I \to \mathbb R$ uma função. Então as seguintes afirmações são equivalentes: | + | **Teorema (Fundamental do Cálculo)** Seja $I$ um intervalo fechado, limitado e que não seja apenas um ponto. Sejam $f: I \to \mathbb R$ uma função contínua e $F: I \to \mathbb R$ uma função. Então as seguintes afirmações são [[comentario: |
| * Existe $a \in I$ tal que $F(x) = F(a) + \int_a^x f(t)dt$ para qualquer $x \in I$; | * Existe $a \in I$ tal que $F(x) = F(a) + \int_a^x f(t)dt$ para qualquer $x \in I$; | ||
| Linha 41: | Linha 42: | ||
| Ou seja, $F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)$. Isso termina a primeira implicação. | Ou seja, $F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)$. Isso termina a primeira implicação. | ||
| - | Agora vejamos que a segunda afirmação implica a primeira. Seja $G(x) = \int_a^x f(t)dt$ para $x \in I$. Pela parte anterior, temos que $G'(x) = f'(x)$ para qualquer $x$ no interior de $I$. Assim, $(F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0$. Logo, $F$ e $G$ diferem por uma constante. Note que $G(a) = 0$. Assim, temos que a constante é igual a $F(a)$, isto é $F(x) = F(a) + G(x) = F(a) + \int_a^x f(t)dt$.< | + | Agora vejamos que a segunda afirmação implica a primeira. Seja $G(x) = \int_a^x f(t)dt$ para $x \in I$. Pela parte anterior, temos que $G'(x) = f(x)$ para qualquer $x$ no interior de $I$. Assim, $(F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0$. Logo, $F$ e $G$ diferem por uma constante. Note que $G(a) = 0$. Assim, temos que a constante é igual a $F(a)$, isto é $F(x) = F(a) + G(x) = F(a) + \int_a^x f(t)dt$.< |
| Note que o $a$ que do resultado anterior não é importante no seguinte sentido: se valer para algum $a$, vale para qualquer outro, como se verifica abaixo: | Note que o $a$ que do resultado anterior não é importante no seguinte sentido: se valer para algum $a$, vale para qualquer outro, como se verifica abaixo: | ||
integral/fundamental.1596046631.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:45 (edição externa)
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