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aurichi criada
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+$\def\sen{\text{sen}}$
 ======== Exercícios (de continha) ========
+{{ youtube>yzYkbFJAcyw?small}}
 <WRAP tip>
   * Como $(e^x)' = e^x$, temos que $\int e^x dx = e^x + k$.
   * Como $(a^x)' = a^x \ln a$, temos que $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + k$.
-  * Note que, para $x < 0$, como $(\ln |x|)' = (\ln (-x))' = - \frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$ e se $x > 0$, $(\ln |x|)' = \ln x = \frac{1}{x}$, temos que $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$. Assim, $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + k$.
+  * Note que, para $x < 0$, como $(\ln |x|)' = (\ln (-x))' = - \frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$ e, se $x > 0$, $(\ln |x|)' = \ln x = \frac{1}{x}$, temos que $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$. Assim, $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + k$.
 </WRAP>
 **~~#~~** Determine $\int_a^b e^{2x}dx$ <wrap info>[[solucao:e2x|Solução]]</wrap>
+**~~#~~** Determine $\int_0^1 x e^{3x^2}dx$ <wrap info>[[solucao:e32x|Solução]]</wrap>
- Fazendo $y = 2x$, temos $dy = 2dx$. Assim, quando $x = a$, $y = 2a$ e quando $x = b$, $y = 2b$. Desta maneira
+**~~#~~** $\int_a^b \tan x dx$ (onde $\tan$ está definida entre $a$ e $b$) <wrap info>[[solucao:tan|Solução]]</wrap>
- $$\int_a^b e^{2x}dx = \frac{1}{2}\int_{2a}^{2b} e^y dy = \frac{1}{2}(e^y)|_{2a}^{2b}$$
-**~~#~~** Determine $\int_0^1 x e^{3x^2}dx$.
-Façamos $a = 3x^2$. Assim, $da = 6x$. Quando $x = 0$, $a = 0$. Quando $x = 1$, $a = 3$. Assim
- $$int_0^1 x e^{3x^2}dx = \frac{1}{6}\int_0^3 e^a da = \frac{1}{6}e^a|_0^3$$
-**~~#~~** $\int \tan x dx = \int \frac{\sen x}{\cos x} dx$.
-Fazendo $u = \cos x$, temos que $du = -\sen x dx$. Assim, $\int \frac{\sen x}{\cos x} dx = \frac{-1}{u}{du} = -\ln |u| + k = -\ln|\cos x| + k$.
-**~~#~~** $\int \ln x dx$
-Fazendo $f(x) = \ln x$ e $g'(x) = 1$, temos que $f'(x) = \frac{1}{x}$ e $g(x) = x$. Assim,
-$\int \ln x dx = x \ln x - \int \frac{1}{x} x dx = x \ln x - x + k$.
-**~~#~~** $\int e^x \sen x dx$
- Fazendo $f(x) = e^x$ e $g'(x) = \sen x$, temos que $f'(x) = e^x$ e $g(x) = -\cos x$. Assim
-$\int e^x \sen x dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx$
-Para calcular $\int e^x \cos x dx$, fazemos $f(x) = e^x$ e $g'(x) = \cos x$. Assim $f'(x) = e^x$ e $g(x) = \sen x$. Logo
-$\int e^x \cos x dx = e^x \sen x - \int e^x \sen x$. Substituindo na anterior, temos:
-$\int e^x \sen x dx = -e^x \cos x + e^x \sen x - \int e^x \sen x$. Logo
-$$\int e^x \sen x dx = \frac{1}{2} e^x(\sen x - \cos x) + k$$
-**~~#~~** $\int \frac{x}{9 - x^2}dx$
+**~~#~~** $\int_a^b \ln x dx$ <wrap info>[[solucao:ln|Solução]]</wrap>
- Fazendo $x = 3\sen u$, temos que $dx = 3\cos u$ e que $9 - x^2 = 9 - 9\sen^2u = 9 (1 - \sen^2u) = 9 \cos^2 u$.
+**~~#~~** $\int_a^b e^x \sen x dx$ <wrap info>[[solucao:esen|Solução]]</wrap>
-Assim $\int \frac{x}{9 - x^2}dx = \int \frac{3 \sen u}{9 \cos^2 u} (3 \cos u) du = \int \sen u \cos^{-1} u du = \int \tan u du$.

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