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derivada:taylor
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derivada:taylor [2020/07/28 16:18] aurichi |
derivada:taylor [2020/11/06 14:45] (atual) |
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| Linha 2: | Linha 2: | ||
| ======== Fórmula de Taylor ======== | ======== Fórmula de Taylor ======== | ||
| + | {{ youtube> | ||
| Uma motivação que tivemos para a definição de derivada de uma função foi aproximá-la por uma função linear: $p(x) = ax + b$. Vimos, naquele momento, que essa aproximação se dada da seguinte forma | Uma motivação que tivemos para a definição de derivada de uma função foi aproximá-la por uma função linear: $p(x) = ax + b$. Vimos, naquele momento, que essa aproximação se dada da seguinte forma | ||
| Linha 129: | Linha 130: | ||
| **Proposição** Dado $p$ polinômio de grau $n \geq 1$, temos que se $P_n(x)$ é o polinômio de Taylor centrado em $a$ e de grau $n$, então $p(x) = P_n(x)$ para todo $x \in \mathbb R$. | **Proposição** Dado $p$ polinômio de grau $n \geq 1$, temos que se $P_n(x)$ é o polinômio de Taylor centrado em $a$ e de grau $n$, então $p(x) = P_n(x)$ para todo $x \in \mathbb R$. | ||
| - | **Dem.** Em vez de mostrar o resultado, vamos mostrar o seguinte lema (note que o que queremos provar é um caso particular: | + | **Dem.** Em vez de mostrar o resultado, vamos mostrar o seguinte lema (note que o que queremos provar é um caso particular): |
| **Lema** Se $p$ e $q$ são polinômios de grau no máximo $n$ e existe um ponto $a$ tal que $p^{(k)}(a) = q^{(k)}(a)$ para todo $k \leq n$, então $p = q$. | **Lema** Se $p$ e $q$ são polinômios de grau no máximo $n$ e existe um ponto $a$ tal que $p^{(k)}(a) = q^{(k)}(a)$ para todo $k \leq n$, então $p = q$. | ||
| Linha 139: | Linha 140: | ||
| Agora o caso $n \Rightarrow n + 1$: | Agora o caso $n \Rightarrow n + 1$: | ||
| - | Note que como o grau de $p'$ e $q'$ têm grau no máximo $n$, por $HI$ temos que $p'(x) = q' | + | Note que como o grau de $p'$ e $q'$ têm grau no máximo $n$ e satisfazem a hipótese do nosso enunciado. Assim, por $HI$, temos que $p'(x) = q' |
| Linha 146: | Linha 147: | ||
| Em geral, o polinômio se dá por | Em geral, o polinômio se dá por | ||
| \[\begin{array}{rcl} | \[\begin{array}{rcl} | ||
| - | P(x) & = & f(a) + f' | + | P(x) & = & f(a) + f' |
| & = & \cos(0) -\sen(0)(x - 0) - \frac{1}{2}\cos(0)(x - 0)^2\\ | & = & \cos(0) -\sen(0)(x - 0) - \frac{1}{2}\cos(0)(x - 0)^2\\ | ||
| & = & 1 - \frac{1}{2}x^2\\ | & = & 1 - \frac{1}{2}x^2\\ | ||
derivada/taylor.1595963913.txt.gz · Última modificação: 2020/11/06 14:44 (edição externa)
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