[aurichi]

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===== Exercícios para entrega =====

  * **Entrega para 09/04** Seja $X$ espaço topológico regular e sem pontos isolados. Mostre que $X$ admite uma base $\mathcal B$ tal que, para qualquer $D \subset X$ denso e quaisquer $A, B \in \mathcal B$, temos $(A \cap D) \setminus B$ é vazio ou infinito.
  
  * **Entrega para 16/04** Seja $(X, d)$ espaço métrico não limitado e sejam $f, g: X \to [0, 1]$ funções (não necessariamente contínuas). Mostre que existe $h: X \to [0, 1]$ contínua tal que $\{x \in X: f(x) = h(x)\}$ e $\{x \in X: g(x) = h(x)\}$ são ambos não limitados. 
  
  * **Entrega para 08/05** Considere $X = \{f: \mathbb Q \to \mathbb R|f$ é função$\}$ com a topologia produto (isto é, $X = \prod_{q \in \mathbb Q} \mathbb R$). É verdade que para toda $f \in X$ existe $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ sequência de funções contínuas e ilimitadas tais que $f_n \to f$?
  
  * **Entrega para 22/05** Seja $K$ um compacto de Hausdorff. Seja $X \subset K$ tal que $\overline X = K$ e $K \setminus X = \bigcup_{n \in \mathbb N} K_n$ onde cada $K_n$ é compacto. Mostre que para todo $x \in X$ existe $G$ um $G_\delta$ de $K$ compacto e tal que $x \in G \subset X$ (Um conjunto $G$ é um $G_\delta$ se existem $(V_n)_{n \in \mathbb N}$ abertos tais que $G = \bigcap_{n \in \mathbb N} V_n$.)
  
  * **Entrega para 29/05** Considere $X = (\mathbb R \times \mathbb Q) \cup E$, onde $E \subset \mathbb R^2$ é enumerável. 
    * Mostre que $X$ não é conexo.
    * Mostre que, dada uma reta $r \subset \mathbb R^2$ tal que $r \not \subset X$ e $r \cap (X \setminus E) \neq \emptyset$, temos que $X \cup r$ é conexo.

  * **Entrega para 12/06** Mostre que não vale o seguinte análogo ao Teorema de Tietze: mostre que existe $F \subset [0, 1] \times [0, 1]$ fechado e $f: F \to S^1$ contínua que não admite uma extensão contínua $g: [0, 1] \times [0, 1] \to S^1$. Dica: veja qual é o capítulo correspondente a esse exercício. 

  * **Entrega para 19/06** Seja $(X. \tau)$ espaço topológico de Hausdorff. Se existe $Y \subset X$ completamente metrizável tal que $\overline Y = X$, podemos afirmar que $X$ é normal?

  * **Entrega para 19/06** Seja $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ sequência de funções contínuas da forma $f_n: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ não localmente constantes (uma função $g$ é não localmente constante se, para todo $V$ aberto não vazio, exitem $a, b \in V$ tais que $g(a) \neq g(b)$). Dado $x \in \mathbb R^2$, mostre que existe uma sequência $(x_k)_{k \in \mathbb N}$ tal que $x_k \to x$ e, para todo $k$ e todo $n$, $f_n(x_k) \neq 0$.

  * **Entrega para 03/07** Considere $\overline{\mathbb N \setminus \{0\}} \subset \beta \mathbb N$. Tal espaço é homeomorfo a $\beta \mathbb N$?
    * Considere $\overline{\mathbb R \setminus \{0\}} \subset \beta \mathbb R$. Tal espaço é homeomorfo a $\beta \mathbb (R \setminus \{0\})$?
  
  * **Entrega para 03/07** **Entregue junto desse exercício um pseudônimo, para a divulgação das notas** Dê um exemplo de um espaço de Hausdorff não paracompacto que contenha um aberto denso paracompacto.