This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision Next revision Both sides next revision | ||
seminario:seminarios [2022/11/22 09:31] 127.0.0.1 external edit |
seminario:seminarios [2023/06/18 18:16] 127.0.0.1 external edit |
||
---|---|---|---|
Line 4: | Line 4: | ||
\\ | \\ | ||
- | ==== Grafos entre nós ==== | + | ==== Limites de ciclos e a conjectura da 2-cobertura ==== |
- | === Lucas Silva Sinzato Real === | + | === Paulo Sérgio Farias Magalhães Júnior === |
- | === 13h em 24/11/2022 === | + | === Sala 3-011 às 13h em 22/06/2023 === |
- | A noção de planaridade é bem conhecida na Teoria dos Grafos: dizemos que um grafo é planar quando pode ser desenhado em $\mathbb{R}^2$ sem que haja o cruzamento de suas arestas. Neste seminário, discutiremos uma definição similar com respeito a mergulhos de grafos em espaços tridimensionais. Nessa direção, encontraremos grafos que não podem ser desenhados em $\mathbb{R}^3$ sem que seus ciclos se linkem, e outros que não admitem representações sem que um de seus ciclos de enode. Para essa abordagem, porém, recorreremos a algumas ferramentas da Teoria de Nós. | + | No artigo "Sums of circuits" Seymour conjecturou que todo grafo sem pontes $G$ possui uma 2-cobertura por ciclos, isto é, uma coleção de ciclos de $G$ em que toda aresta do grafo está em exatamente dois ciclos dessa coleção, esta conjectura é chamada conjectura da 2-cobertura por ciclos. |
+ | |||
+ | Ao longo do tempo alguns avanços foram feitos no sentido de resolver e estender essa conjectura. Entre eles destacamos o resultado de Laviolette que diz que "Se a conjectura vale para grafos localmente finitos então ela vale para grafos infinitos quaisquer" e o resultado de Diestel, Stein e Bruhn na qual eles provam que "Se a conjectura vale para grafos finitos então vale para grafos localmente finitos". Com esses dois resultados se espera que possamos então mostrar que se a conjectura vale para grafos finitos então vale para qualquer grafo, porém isso não ocorre visto que os dois resultados anteriormente apresentados não trabalham com a mesma definição de ciclo. | ||
+ | |||
+ | Nesta apresentação iremos introduzir o conceito de limites de ciclos finitos, mostrar como esse objeto se comporta em grafos localmente finitos e mostrar que reformulando a conjectura para limites de ciclos finitos ao invés de ciclos podemos concluir o resultado: | ||
+ | |||
+ | **Teorema:** //Se a conjetura da 2-cobertura por limites de ciclos finitos vale para grafos finitos então ela também vale para grafos enumeráveis quaisquer.// | ||
\\ | \\ | ||
| | ||
+ | ===== Anteriores ===== | ||
+ | ==== Grafos': uma história de nove grafos proibidos ==== | ||
+ | === Lucas Silva Sinzato Real === | ||
+ | === 13h em 25/05/2023 === | ||
+ | Em um grafo \(G\) qualquer, podemos dizer que duas arestas são **vizinhas** quando incidem em um mesmo vértice. Com essa noção de adjacência, \(E(G)\) se torna o conjunto de vértices de um grafo \(G'\), dito ser o **grafo das arestas** de \(G\). Na literatura, grafos dessa natureza são protagonistas de diversos resultados que não se verificam para grafos quaisquer. Por exemplo, as possibilidades de seus números cromáticos variam em um conjunto controlado, enquanto que a aplicação \(G\mapsto G'''\) fornece um paralelo entre grafos eulerianos e hamiltonianos. Por esse motivo, neste seminário caracterizaremos os grafos que são grafos de arestas, descrevendo os (praticamente únicos) nove grafos que não são obtidos dessa forma. | ||
- | ===== Anteriores ===== | + | ==== Ultraparacompacidade: mais uma aplicação da busca em profundidade ==== |
+ | === Lucas Silva Sinzato Real === | ||
+ | === 13h em 27/04/2023 === | ||
+ | |||
+ | Para a generalização de diversos resultados de natureza finita, é conveniente interpretar "pontos limites" em um grafo infinito como objetos similares a vértices. Formalmente, uma **extremidade** em um grafo $G$ é um elemento do quociente obtido quando dizemos que raios em $G$ são equivales se estão infinitamente conectados. Dessa maneira, podemos inserir uma topologia apropriada sobre vértices e extremidades de forma que um raio acumule em sua classe de equivalência, intuindo que essa é a "direção" na qual ele aponta. Restringindo-nos apenas a esses objetos limites, fica definido um espaço topológico $\Omega(G)$, dito ser o **espaço de extremidades** de $G$. Em 1992, Diestel pergunta que propriedades topológicas caracterizam os espaços obtidos dessa maneira. Então, em uma tentativa de filtrar espaços topológicos que podem ser espaços de extremidades, apresentaremos neste seminário a prova de que $\Omega(G)$ é um espaço ultraparacompacto para todo grafo $G$, conforme concluíram Kurkofka, Melcher e Pitz em 2021. Como principal ferramenta que sustenta essa demonstração, discutiremos uma variação do algoritmo de busca em profundidade para encontrar árvores normais. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Conjectura da 2-cobertura por ciclos: o retorno ==== | ||
+ | === Luisa Gomes Seixas === | ||
+ | === 13h em 20/04/2023 === | ||
+ | |||
+ | A conjectura da 2-cobertura por ciclos, abordada previamente em outro seminário, foi proposta na década de 70, e permance em aberto desde então. | ||
+ | |||
+ | Aqui, iremos relembrar um pouco do que foi visto do seminário anterior em relação a essa conjectura. Além disso, nos concentraremos em três pontos principais: | ||
+ | |||
+ | * Mostrar que se a conjectura vale para grafos finitos, então vale para grafos localmente finitos; | ||
+ | * Abordar uma generalização da conjectura; | ||
+ | * Tentar mostrar que, se a conjectura vale para grafos localmente finitos, então vale para qualquer grafo. | ||
+ | |||
+ | Abordaremos os problemas que encontramos e os próximos passos no estudo dessa conjectura e de sua generalização. | ||
+ | |||
+ | ==== Grafos entre nós ==== | ||
+ | === Lucas Silva Sinzato Real === | ||
+ | === 13h em 24/11/2022 === | ||
+ | |||
+ | A noção de planaridade é bem conhecida na Teoria dos Grafos: dizemos que um grafo é planar quando pode ser desenhado em $\mathbb{R}^2$ sem que haja o cruzamento de suas arestas. Neste seminário, discutiremos uma definição similar com respeito a mergulhos de grafos em espaços tridimensionais. Nessa direção, encontraremos grafos que não podem ser desenhados em $\mathbb{R}^3$ sem que seus ciclos se linkem, e outros que não admitem representações sem que um de seus ciclos de enode. Para essa abordagem, porém, recorreremos a algumas ferramentas da Teoria de Nós. | ||
==== Conjectura da $2$-cobertura por ciclos ==== | ==== Conjectura da $2$-cobertura por ciclos ==== |