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--- seminario:seminarios [2022/11/22 09:31]
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lucas
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-==== Grafos entre nós ====
+==== Limites de ciclos e a conjectura da 2-cobertura ====
-=== Lucas Silva Sinzato Real ===
+=== Paulo Sérgio Farias Magalhães Júnior ===
-=== 13h em 24/11/2022 ===
+=== Sala 3-011 às 13h em 22/06/2023 ===
-A noção de planaridade é bem conhecida na Teoria dos Grafos: dizemos que um grafo é planar quando pode ser desenhado em $\mathbb{R}^2$ sem que haja o cruzamento de suas arestas. Neste seminário, discutiremos uma definição similar com respeito a mergulhos de grafos em espaços tridimensionais. Nessa direção, encontraremos grafos que não podem ser desenhados em $\mathbb{R}^3$ sem que seus ciclos se linkem, e outros que não admitem representações sem que um de seus ciclos de enode. Para essa abordagem, porém, recorreremos a algumas ferramentas da Teoria de Nós.
+No artigo "Sums of circuits" Seymour conjecturou que todo grafo sem pontes $G$ possui uma 2-cobertura por ciclos, isto é, uma coleção de ciclos de $G$ em que toda aresta do grafo está em exatamente dois ciclos dessa coleção, esta conjectura é chamada conjectura da 2-cobertura por ciclos.
+Ao longo do tempo alguns avanços foram feitos no sentido de resolver e estender essa conjectura. Entre eles destacamos o resultado de Laviolette que diz que "Se a conjectura vale para grafos localmente finitos então ela vale para grafos infinitos quaisquer" e o resultado de Diestel, Stein e Bruhn na qual eles provam que "Se a conjectura vale para grafos finitos então vale para grafos localmente finitos". Com esses dois resultados se espera que possamos então mostrar que se a conjectura vale para grafos finitos então vale para qualquer grafo, porém isso não ocorre visto que os dois resultados anteriormente apresentados não trabalham com a mesma definição de ciclo.
+Nesta apresentação iremos introduzir o conceito de limites de ciclos finitos, mostrar como esse objeto se comporta em grafos localmente finitos e mostrar que reformulando a conjectura para limites de ciclos finitos ao invés de ciclos podemos concluir o resultado:
+**Teorema:** //Se a conjetura da 2-cobertura por limites de ciclos finitos vale para grafos finitos então ela também vale para grafos enumeráveis quaisquer.//
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+===== Anteriores =====
+==== Grafos': uma história de nove grafos proibidos ====
+=== Lucas Silva Sinzato Real ===
+=== 13h em 25/05/2023 ===
+Em um grafo \(G\) qualquer, podemos dizer que duas arestas são **vizinhas** quando incidem em um mesmo vértice. Com essa noção de adjacência, \(E(G)\) se torna o conjunto de vértices de um grafo \(G'\), dito ser o **grafo das arestas** de \(G\). Na literatura, grafos dessa natureza são protagonistas de diversos resultados que não se verificam para grafos quaisquer. Por exemplo, as possibilidades de seus números cromáticos variam em um conjunto controlado, enquanto que a aplicação \(G\mapsto G'''\) fornece um paralelo entre grafos eulerianos e hamiltonianos. Por esse motivo, neste seminário caracterizaremos os grafos que são grafos de arestas, descrevendo os (praticamente únicos) nove grafos que não são obtidos dessa forma.
-===== Anteriores =====
+==== Ultraparacompacidade: mais uma aplicação da busca em profundidade ====
+=== Lucas Silva Sinzato Real ===
+=== 13h em 27/04/2023 ===
+Para a generalização de diversos resultados de natureza finita, é conveniente interpretar "pontos limites" em um grafo infinito como objetos similares a vértices. Formalmente, uma **extremidade** em um grafo $G$ é um elemento do quociente obtido quando dizemos que raios em $G$ são equivales se estão infinitamente conectados. Dessa maneira, podemos inserir uma topologia apropriada sobre vértices e extremidades de forma que um raio acumule em sua classe de equivalência, intuindo que essa é a "direção" na qual ele aponta. Restringindo-nos apenas a esses objetos limites, fica definido um espaço topológico $\Omega(G)$, dito ser o **espaço de extremidades** de $G$. Em 1992, Diestel pergunta que propriedades topológicas caracterizam os espaços obtidos dessa maneira. Então, em uma tentativa de filtrar espaços topológicos que podem ser espaços de extremidades, apresentaremos neste seminário a prova de que $\Omega(G)$ é um espaço ultraparacompacto para todo grafo $G$, conforme concluíram Kurkofka, Melcher e Pitz em 2021. Como principal ferramenta que sustenta essa demonstração, discutiremos uma variação do algoritmo de busca em profundidade para encontrar árvores normais.
+==== Conjectura da 2-cobertura por ciclos: o retorno ====
+=== Luisa Gomes Seixas ===
+=== 13h em 20/04/2023 ===
+A conjectura da 2-cobertura por ciclos, abordada previamente em outro seminário, foi proposta na década de 70, e permance em aberto desde então.
+Aqui, iremos relembrar um pouco do que foi visto do seminário anterior em relação a essa conjectura. Além disso, nos concentraremos em três pontos principais:
+  * Mostrar que se a conjectura vale para grafos finitos, então vale para grafos localmente finitos;
+  * Abordar uma generalização da conjectura;
+  * Tentar mostrar que, se a conjectura vale para grafos localmente finitos, então vale para qualquer grafo.
+Abordaremos os problemas que encontramos e os próximos passos no estudo dessa conjectura e de sua generalização.
+==== Grafos entre nós ====
+=== Lucas Silva Sinzato Real ===
+=== 13h em 24/11/2022 ===
+A noção de planaridade é bem conhecida na Teoria dos Grafos: dizemos que um grafo é planar quando pode ser desenhado em $\mathbb{R}^2$ sem que haja o cruzamento de suas arestas. Neste seminário, discutiremos uma definição similar com respeito a mergulhos de grafos em espaços tridimensionais. Nessa direção, encontraremos grafos que não podem ser desenhados em $\mathbb{R}^3$ sem que seus ciclos se linkem, e outros que não admitem representações sem que um de seus ciclos de enode. Para essa abordagem, porém, recorreremos a algumas ferramentas da Teoria de Nós.
 ==== Conjectura da $2$-cobertura por ciclos ====

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