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seminario:seminarios [2022/11/15 17:10] lucas |
seminario:seminarios [2023/05/22 20:17] lucas |
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+ | ==== Grafos': uma história de nove grafos proibidos ==== | ||
+ | === Lucas Silva Sinzato Real === | ||
+ | === 13h em 25/05/2023 === | ||
- | ==== Conjectura da $2$-cobertura por ciclos ==== | + | Em um grafo \(G\) qualquer, podemos dizer que duas arestas são **vizinhas** quando incidem em um mesmo vértice. Com essa noção de adjacência, \(E(G)\) se torna o conjunto de vértices de um grafo \(G'\), dito ser o **grafo das arestas** de \(G\). Na literatura, grafos dessa natureza são protagonistas de diversos resultados que não se verificam para grafos quaisquer. Por exemplo, as possibilidades de seus números cromáticos variam em um conjunto controlado, enquanto que a aplicação \(G\mapsto G'''\) fornece um paralelo entre grafos eulerianos e hamiltonianos. Por esse motivo, neste seminário caracterizaremos os grafos que são grafos de arestas, descrevendo os (praticamente únicos) nove grafos que não são obtidos dessa forma. |
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+ | ==== Ultraparacompacidade: mais uma aplicação da busca em profundidade ==== | ||
+ | === Lucas Silva Sinzato Real === | ||
+ | === 13h em 27/04/2023 === | ||
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+ | Para a generalização de diversos resultados de natureza finita, é conveniente interpretar "pontos limites" em um grafo infinito como objetos similares a vértices. Formalmente, uma **extremidade** em um grafo $G$ é um elemento do quociente obtido quando dizemos que raios em $G$ são equivales se estão infinitamente conectados. Dessa maneira, podemos inserir uma topologia apropriada sobre vértices e extremidades de forma que um raio acumule em sua classe de equivalência, intuindo que essa é a "direção" na qual ele aponta. Restringindo-nos apenas a esses objetos limites, fica definido um espaço topológico $\Omega(G)$, dito ser o **espaço de extremidades** de $G$. Em 1992, Diestel pergunta que propriedades topológicas caracterizam os espaços obtidos dessa maneira. Então, em uma tentativa de filtrar espaços topológicos que podem ser espaços de extremidades, apresentaremos neste seminário a prova de que $\Omega(G)$ é um espaço ultraparacompacto para todo grafo $G$, conforme concluíram Kurkofka, Melcher e Pitz em 2021. Como principal ferramenta que sustenta essa demonstração, discutiremos uma variação do algoritmo de busca em profundidade para encontrar árvores normais. | ||
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+ | ==== Conjectura da 2-cobertura por ciclos: o retorno ==== | ||
=== Luisa Gomes Seixas === | === Luisa Gomes Seixas === | ||
- | === 13h em 17/11/2022 === | + | === 13h em 20/04/2023 === |
- | A conjectura da $2$-cobertura por ciclos, proposta nos anos 70, de forma independente, por Szekeres e Seymour, afirma o seguinte: | + | A conjectura da 2-cobertura por ciclos, abordada previamente em outro seminário, foi proposta na década de 70, e permance em aberto desde então. |
- | Todo grafo sem pontes possui uma coleção de ciclos tal que toda aresta aparece em exatamente dois desses ciclos. | + | Aqui, iremos relembrar um pouco do que foi visto do seminário anterior em relação a essa conjectura. Além disso, nos concentraremos em três pontos principais: |
- | Nessa apresentação, iremos explorar o que já se sabe sobre esse conjectura. | + | * Mostrar que se a conjectura vale para grafos finitos, então vale para grafos localmente finitos; |
+ | * Abordar uma generalização da conjectura; | ||
+ | * Tentar mostrar que, se a conjectura vale para grafos localmente finitos, então vale para qualquer grafo. | ||
- | Estudaremos o curioso caso dos snarks, candidatos a contraexemplo da conjectura, entendendo quem são essas estruturas. | + | Abordaremos os problemas que encontramos e os próximos passos no estudo dessa conjectura e de sua generalização. |
- | Por último, vamos mostrar que, se existe um contraexemplo não-enumerável para tal conjectura, então podemos encontrar um contraexemplo enumerável. | + | ==== Grafos entre nós ==== |
+ | === Lucas Silva Sinzato Real === | ||
+ | === 13h em 24/11/2022 === | ||
- | \\ | + | A noção de planaridade é bem conhecida na Teoria dos Grafos: dizemos que um grafo é planar quando pode ser desenhado em $\mathbb{R}^2$ sem que haja o cruzamento de suas arestas. Neste seminário, discutiremos uma definição similar com respeito a mergulhos de grafos em espaços tridimensionais. Nessa direção, encontraremos grafos que não podem ser desenhados em $\mathbb{R}^3$ sem que seus ciclos se linkem, e outros que não admitem representações sem que um de seus ciclos de enode. Para essa abordagem, porém, recorreremos a algumas ferramentas da Teoria de Nós. |
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+ | ==== Conjectura da $2$-cobertura por ciclos ==== | ||
+ | === Luisa Gomes Seixas === | ||
+ | === 13h em 17/11/2022 === | ||
+ | A conjectura da $2$-cobertura por ciclos, proposta nos anos 70, de forma independente, por Szekeres e Seymour, afirma o seguinte: | ||
+ | Todo grafo sem pontes possui uma coleção de ciclos tal que toda aresta aparece em exatamente dois desses ciclos. | ||
- | ===== Anteriores ===== | + | Nessa apresentação, iremos explorar o que já se sabe sobre esse conjectura. |
+ | Estudaremos o curioso caso dos snarks, candidatos a contraexemplo da conjectura, entendendo quem são essas estruturas. | ||
+ | Por último, vamos mostrar que, se existe um contraexemplo não-enumerável para tal conjectura, então podemos encontrar um contraexemplo enumerável. | ||