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 ===== Próximos =====
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+==== Ultraparacompacidade: mais uma aplicação da busca em profundidade ====
-==== Vértices no infinito ====
 === Lucas Silva Sinzato Real ===
-=== Sala 3-011 às 13h em 01/09/2022 ===
+=== 13h em 27/04/2023 ===
-Determinados objetos importantes da Teoria dos Grafos são finitos por natureza, como os ciclos e os caminhos. Por conta disso, alguns resultados clássicos dessa área dizem respeito a grafos com apenas finitos vértices, de modo que análogos infinitos (quando possíveis de serem obtidos) muitas vezes requerem adaptações em seus enunciados. Nesta apresentação, veremos que a noção de extremidade em um grafo infinito é adequada para responder as seguintes perguntas: O que é um ciclo infinito? Quais as pontas que caminhos infinitos conectam?
+Para a generalização de diversos resultados de natureza finita, é conveniente interpretar "pontos limites" em um grafo infinito como objetos similares a vértices. Formalmente, uma **extremidade** em um grafo $G$ é um elemento do quociente obtido quando dizemos que raios em $G$ são equivales se estão infinitamente conectados. Dessa maneira, podemos inserir uma topologia apropriada sobre vértices e extremidades de forma que um raio acumule em sua classe de equivalência, intuindo que essa é a "direção" na qual ele aponta. Restringindo-nos apenas a esses objetos limites, fica definido um espaço topológico $\Omega(G)$, dito ser o **espaço de extremidades** de $G$. Em 1992, Diestel pergunta que propriedades topológicas caracterizam os espaços obtidos dessa maneira. Então, em uma tentativa de filtrar espaços topológicos que podem ser espaços de extremidades, apresentaremos neste seminário a prova de que $\Omega(G)$ é um espaço ultraparacompacto para todo grafo $G$, conforme concluíram Kurkofka, Melcher e Pitz em 2021. Como principal ferramenta que sustenta essa demonstração, discutiremos uma variação do algoritmo de busca em profundidade para encontrar árvores normais.
-Inclusive, utilizaremos o Teorema de Lovász-Cherkassky como exemplo de resultado sobre grafos finitos em que "vértices no infinito" auxiliam no desenvolvimento de uma generalização.
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 ===== Anteriores =====
+==== Conjectura da 2-cobertura por ciclos: o retorno ====
+=== Luisa Gomes Seixas ===
+=== 13h em 20/04/2023 ===
+A conjectura da 2-cobertura por ciclos, abordada previamente em outro seminário, foi proposta na década de 70, e permance em aberto desde então.
+Aqui, iremos relembrar um pouco do que foi visto do seminário anterior em relação a essa conjectura. Além disso, nos concentraremos em três pontos principais:
+  * Mostrar que se a conjectura vale para grafos finitos, então vale para grafos localmente finitos;
+  * Abordar uma generalização da conjectura;
+  * Tentar mostrar que, se a conjectura vale para grafos localmente finitos, então vale para qualquer grafo.
+Abordaremos os problemas que encontramos e os próximos passos no estudo dessa conjectura e de sua generalização.
+==== Grafos entre nós ====
+=== Lucas Silva Sinzato Real ===
+=== 13h em 24/11/2022 ===
+A noção de planaridade é bem conhecida na Teoria dos Grafos: dizemos que um grafo é planar quando pode ser desenhado em $\mathbb{R}^2$ sem que haja o cruzamento de suas arestas. Neste seminário, discutiremos uma definição similar com respeito a mergulhos de grafos em espaços tridimensionais. Nessa direção, encontraremos grafos que não podem ser desenhados em $\mathbb{R}^3$ sem que seus ciclos se linkem, e outros que não admitem representações sem que um de seus ciclos de enode. Para essa abordagem, porém, recorreremos a algumas ferramentas da Teoria de Nós.
+==== Conjectura da $2$-cobertura por ciclos ====
+=== Luisa Gomes Seixas ===
+=== 13h em 17/11/2022 ===
+A conjectura da $2$-cobertura por ciclos, proposta nos anos 70, de forma independente, por Szekeres e Seymour, afirma o seguinte:
+Todo grafo sem pontes possui uma coleção de ciclos tal que toda aresta aparece em exatamente dois desses ciclos.
+Nessa apresentação, iremos explorar o que já se sabe sobre esse conjectura.
+Estudaremos o curioso caso dos snarks, candidatos a contraexemplo da conjectura, entendendo quem são essas estruturas.
+Por último, vamos mostrar que, se existe um contraexemplo não-enumerável para tal conjectura, então podemos encontrar um contraexemplo enumerável.
+==== Empacotar + Cobrir = Decompor ====
+=== Lucas Silva Sinzato Real ===
+=== 13h em 20/10/2022 ===
+Conhecidas como Teoremas de Nash-Willians, há caracterizações para que, dado $k\in \mathbb{N}$, um grafo finito $G = (V,E)$ admita uma família de $k$ árvores geradoras disjuntas nas arestas ou admita uma família de $k$ árvores geradoras que as cobrem. No estudo de grafos infinitos, porém, essas duas propriedades estão de certa forma relacionadas. Neste seminário, mostraremos que, quando $k$ e $G$ são infinitos, possuir $k$ árvores geradoras disjuntas nas arestas e possuir $k$ árvores geradoras que as cobrem é uma condição equivalente a possuir $k$ árvores geradoras que simultanemente são disjuntas nas arestas e as cobrem. Curiosamente, ainda não se sabe se esse resultado - que é do tipo Cantor-Bernstein-Schroeder - pode ser obtido quando $k$ é finito.
+==== Submodelos elementares, axioma de Martin e árvores geradoras sem ramo infinito ====
+=== Luisa Gomes Seixas ===
+=== Sala 3-009 às 13h em 29/09/2022 ===
+Submodelos elementares possuem aplicações nas mais diversas áreas da matemática e fazem com que várias demonstrações se tornem muito mais fáceis. O mesmo vale para o axioma de Martin. Uma das áreas em que podemos aplicar essas ferramentas é a teoria dos grafos.
+Aqui, iremos utilizar submodelos elementares para demonstrar que, se vale $MA_{k}$, então todo grafo $\omega$-conectado de cardinalidade menor ou igual a $\kappa$ tem uma árvore geradora sem ramos infinitos.
+==== Vértices no infinito ====
+=== Lucas Silva Sinzato Real ===
+=== Sala 3-011 às 13h em 01/09/2022 ===
+Determinados objetos importantes da Teoria dos Grafos são finitos por natureza, como os ciclos e os caminhos. Por conta disso, alguns resultados clássicos dessa área dizem respeito a grafos com apenas finitos vértices, de modo que análogos infinitos (quando possíveis de serem obtidos) muitas vezes requerem adaptações em seus enunciados. Nesta apresentação, veremos que a noção de extremidade em um grafo infinito é adequada para responder as seguintes perguntas: O que é um ciclo infinito? Quais as pontas que caminhos infinitos conectam?
+Inclusive, utilizaremos o Teorema de Lovász-Cherkassky como exemplo de resultado sobre grafos finitos em que "vértices no infinito" auxiliam no desenvolvimento de uma generalização.
+<WRAP tip>
+  * {{:seminario:lovaszcherkassky.pdf |Slides}}
+</WRAP>

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