Cálculo

vida:funcoes

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2024-03-01T14:35:36+00:00

$\def\dom{\text{dom}}$ $\def\Im{\text{Im}}$ Um pouco sobre funções Dados dois conjuntos $A$ e $B$, indicamos por $f: A \to B$ uma função de $A$ em $B$. Desta forma estamos fazendo uma associação entre cada elemento de $A$ com um elemento de $B$. A notação é, dado $a \in A$, o elemento de $B$ associado é indicado por $f(a)$. Nessa situação, temos os seguintes nomes:$A$$f$$\dom(f)$$B$$f$$b \in B$$a \in A$$f(a) = b$$b$$f$$f$$\{b \in B:$$a \in A\ f(a) = b\}$$\Im(f)$$$f: \mathbb R \to \mathbb R$$$f…

derivada:taylor

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-12-15T16:14:30+00:00

$\def\sen{\text{sen}}$ Fórmula de Taylor Uma motivação que tivemos para a definição de derivada de uma função foi aproximá-la por uma função linear: $p(x) = ax + b$. Vimos, naquele momento, que essa aproximação se dada da seguinte forma \[P_1(x) = f'(x_0)x + f(x_0) - f'(x_0)x_0 = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0)\] Claramente, \[P_1(x_0) = f(x_0).\] Mas, mais que isso,\[P_1'(x) = f'(x_0).\]$P_1'(x_0) = f'(x_0)$$P_1''(x) = 0$$f''(x_0)$$P_1'$\[P_2(x) = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0) + \lambda(x - x_0)^…

derivada

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-12-10T14:07:47+00:00

Derivada * Definição e exemplos * Algumas funções trigonométricas * Continuidade $\times$ diferenciabilidade * Soma e produto * Polinômios * Regra da cadeia * Vamos dividir? * Invertendo * Invertendo trigonométricas * Máximos e mínimos locais * Teorema do valor médio * Pontos críticos * Convexidade * l'Hôpital * Fórmula de Taylor * Exponencial (versão sem integral) * Mais exponencial e logaritmo (versão sem integral) * Algumas propriedades da exponencial e do…

derivada:logaritmo

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-12-07T09:35:11+00:00

Mais exponencial e logaritmo (versão sem integral) Note que $e^x > 0$ para qualquer $x$. Assim, como $(e^x)' = e^x$, temos que $e^x$ é uma função estritamente crescente e, portanto, admite uma inversa. Vamos chamar tal inversa de $\ln x$. Diretamente da definição acima, temos: $\ln 1 = 0$$\ln x$$\ln: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$$e^{\ln x} = x$$\ln e^x = x$$\ln x$$x > 0$$\ln'(x) = \frac{1}{x}$$x \in ]0, +\infty[$$y$$e^y = x$$(\ln x)' = \frac{1}{(e^y)'} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$\ln 1 = 0$…

derivada:exponencial

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-12-03T14:40:46+00:00

Exponencial (versão sem integral) ATENÇÃO: Esta é uma apresentação alternativa, sem o conceito de integral (que dá uma maneira mais elegante ao processo). Vamos usar vários fatos sem demonstração formal - por exemplo, as séries que vão aparecer são absolutamente convergentes: deste fato seguirão diversos resultados que justificarão passagens $x \in \mathbb R$\[ \begin{array}{rcl} exp(x) & = & 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots\\ & = & \sum_{k = 0}^\…

limites:raizes

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-10-26T18:33:30+00:00

Raízes Dado $n \in \mathbb N_{>1}$, denotamos por $\sqrt[n]{x}$ a inversa de $g(y) = y^n$ em $[0, + \infty[$. Note que $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$. Proposição Dado $n > 1$, temos que a função $f: [0, + \infty[$ dada por $f(x) = \sqrt[n]{x}$ é contínua. Dem.: Note que $f(x) = g^{-1}(x)$, onde $g: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ é dada por $g(y) = y^n$. Assim, como $g$ é estritamente crescente, concluímos pelos resultados anteriores que $f$ é contínua em $[0, +\infty[$$n > 1$$a \…

limites:exerinfinito

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-10-05T20:10:15+00:00

Alguns exercícios envolvendo limites infinitos Vejamos alguns exercícios misturando o que temos até agora: Exercício $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{x + 1} = \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x}{x(1 + \frac{1}{x})} = 1$ Exercício $\lim_\limits{x \to 0+} \frac{x^3 + 1}{x} = \lim_\limits{x \to 0+} \frac{x(x^2 + \frac{1}{x})} {x} = \lim_\limits{x \to 0+} (x^2 + \frac{1}{x}) = +\infty$ O exercício anterior pode ser feito também da seguinte maneira: \[\lim_\limits{x \to 0+} \frac{x^3 + 1}{x}…

limites:umsobrex

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-09-28T17:31:46+00:00

A função $\frac{1}{x}$ Já vimos que multiplicação e soma se comportam bem com relação a limites. Ainda falta ver que $f(x)$ e $g(x)$ são “bem comportadas”, podemos calcular diversos limites de $\frac{f(x)}{g(x)}$. Para podermos usar os resultados sobre composição de funções, o seguinte resultado será bastante útil:$f: \mathbb R_{\neq 0} \to \mathbb R$$f(x) = \frac{1}{x}$$k \in \mathbb R_{>0}$$\lim\limits_{x \to k} f(x) = \frac{1}{k}$$\varepsilon > 0$$\delta > 0$$x \neq 0$$0 < |x - k| < \delta$$…

lista:unicidade

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-09-10T14:54:17+00:00

Seja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 5$. Sabemos que $L \in \mathbb R$ satisfaz a seguinte propriedade: \[\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ 0 < x - 3 < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\]

limites:unicidade

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-09-10T14:44:25+00:00

Unicidade A gente fez um abuso até o momento, se dizemos que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, implicitamente está dito também que $\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq c$, se $b \neq c$. Isso de fato ocorre, é o que vamos ver agora. Proposição Fixe $a \in \mathbb R$ e $f$ uma função. Se $L, M$ são números reais tais que ambos satisfazem a definição de $\lim\limits_{x \to a} f(x)$$L = M$$L$$M$$f$$a$$L = M$$\Delta = |L - M|$$L$$\delta_1 > 0$$x$\[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - L| < \frac{…

lista:laterais1

aurichi (aurichi@undisclosed.example.com) — 2020-09-10T14:42:32+00:00

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ uma função. Sobre ela, temos as seguintes informações: * $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 4$; * restrita a $]1, 5[$, $f$ é constante.