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$\def\dom{\text{dom}}$ $\def\Im{\text{Im}}$
Um pouco sobre funções
Dados dois conjuntos $A$ e $B$, indicamos por $f: A \to B$ uma função de $A$ em $B$. Desta forma estamos fazendo uma associação entre cada elemento de $A$ com um elemento de $B$. A notação é, dado $a \in A$, o elemento de $B$ associado é indicado por $f(a)$. Nessa situação, temos os seguintes nomes:
- $A$ é o domínio de $f$. Indicamos por $\dom(f)$;
- $B$ é o contra-domínio de $f$;
- Note que não necessariamente para todo $b \in B$ existe $a \in A$ tal que $f(a) = b$. A coleção dos $b$'s em que acontece isso chamamos de imagem de $f$. Isto é, a imagem de $f$ é o conjunto $\{b \in B:$ existe $a \in A\ f(a) = b\}$. Indicamos tal conjunto por $\Im(f)$.
Do jeito que definimos, uma função pode ser feita entre quaisquer dois conjuntos. Por exemplo, poderíamos ter a função que associa a cada pessoa a sua altura - neste caso o domínio seria formado pelas pessoas e o contra-domínio pelos números reais. Mas aqui estaremos mais preocupados com funções reais: aquelas cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais.
Exemplo Considere $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = x^2$. Note que $\Im(f) = \mathbb R_{\geq 0}$.
Fixada $f: A \to B$ ela pode ser:
- injetora, que é quando elementos diferentes são associados a elementos diferentes. Isto é, se $x, y \in A$ são tais que $x \neq y$, então $f(x) \neq f(y)$;
- sobrejetora, que é quando todos os elementos de $B$ estão associados a algum elemento de $A$. Em outras palavras, quando $\Im(f) = B$;
- bijetora, que é quando a função é tanto injetora quanto sobrejetora.
Exemplo A função $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = 2x$ é bijetora. De fato:
- é injetora, pois se $x \neq y$, então $2x \neq 2y$;
- dado $b \in \mathbb R$, note que $f(\frac{b}{2}) = b$, logo $f$ é sobrejetora.
Exemplo A função $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = x^2$ não é injetora. De fato, note que $f(-1) = f(1)$. Note também que, da forma apresentada, tal função também não é sobrejetora.
Considere $f: A \to B$ e $g: B \to C$. Denotamos por $g \circ f$ a função dada por $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Chamamos tal operação de composição de funções.
É importante a ordem. Note que, na definição acima, primeiro aplicamos a $f$, depois aplicamos a $g$ ao resultado.
Exemplo Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ e $g: \mathbb R \to \mathbb R$ dadas por $f(x) = x^2$ e $g(x) = 3x$. Note que
- $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = 3x^2$;
- $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 9x^2$.
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