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Unicidade
A gente fez um abuso até o momento, se dizemos que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, implicitamente está dito também que $\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq c$, se $b \neq c$. Isso de fato ocorre, é o que vamos ver agora.
Proposição Fixe $a \in \mathbb R$ e $f$ uma função. Se $L, M$ são números reais tais que ambos satisfazem a definição de $\lim\limits_{x \to a} f(x)$, então $L = M$.
Dem.: Suponha que $L$ e $M$ sejam o limite de $f$ no ponto $a$. Vamos mostrar que $L = M$.
Considere $\Delta = |L - M|$. Como $L$ é limite, existe $\delta_1 > 0$ tal que, para todo $x$,
\[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - L| < \frac{\Delta}{2}\]
Analogamente, existe $\delta_2 > 0$ tal que, para todo $x$,
\[0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - M| < \frac{\Delta}{2}\]
Seja $x$ tal que $|x - a| < \delta_1, \delta_2$. Temos: \[\begin{array}{rcl} \Delta & = & |L - M|\\ & = & |L - f(x) + f(x) - M|\\ & \leq & |f(x) - L| + |f(x) - M|\\ & < & \Delta \end{array}\]
contradição.
O resultado anterior deve ser lido como “se o limite existe, ele é único”.
Cuidado: a gente não está dizendo que o limite existe - apenas que se existir algum valor que satisfaça a definição, só vai existir um.
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