Já vimos que multiplicação e soma se comportam bem com relação a limites. Ainda falta ver que $f(x)$ e $g(x)$ são “bem comportadas”, podemos calcular diversos limites de $\frac{f(x)}{g(x)}$. Para podermos usar os resultados sobre composição de funções, o seguinte resultado será bastante útil:

Proposição Considere $f: \mathbb R_{\neq 0} \to \mathbb R$ dada por $f(x) = \frac{1}{x}$. Então, dado $k \in \mathbb R_{>0}$ temos que $\lim\limits_{x \to k} f(x) = \frac{1}{k}$.

Dem.: Seja $\varepsilon > 0$. Precisamos encontrar $\delta > 0$ de forma que, para qualquer $x \neq 0$ tal que $0 < |x - k| < \delta$, temos $|f(x) - \frac{1}{k}| < \varepsilon$. Considere $\delta = \min\{\frac{k^2\varepsilon}{2}, \frac{k}{2}\}$. Vamos mostrar que tal $\delta$ funciona. Seja $x$ tal que $0 < |x - k| < \delta$. Note que, como $k > 0$, qualquer valor de $x$ satisfazendo essa desigualdade também é estritamente positivo - assim está no domínio de $f$. Mais que isso, temos que $x > \frac{k}{2}$. Assim \[\begin{array}{rcl} |f(x) - \frac{1}{k}| & = & |\frac{1}{x} - \frac{1}{k}|\\ & = & |\frac{k - x}{xk}|\\ & = & \frac{|x - k|}{xk}\\ & < & \frac{|x - k|}{\frac{k}{2}k}\\ & = & 2\frac{|x - k|}{k^2}\\ & < & \varepsilon\\ \end{array}\]

Corolário Considere $f: \mathbb R_{\neq 0} \to \mathbb R$ dada por $f(x) = \frac{1}{x}$. Então, dado $k \in \mathbb R_{\neq 0}$ temos que $\lim\limits_{x \to k} f(x) = \frac{1}{k}$.

Dem.: Você pode adaptar a demonstração acima ou usar o resultado anterior com a função $g(x) = -x$ e usar que, para $x < 0$, $f(x) = - f(g(x))$.