Proposição Dado $n > 1$, temos que a função $f: [0, + \infty[$ dada por $f(x) = \sqrt[n]{x}$ é contínua.

Dem.: Note que $f(x) = g^{-1}(x)$, onde $g: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ é dada por $g(y) = y^n$. Assim, como $g$ é estritamente crescente, concluímos pelos resultados anteriores que $f$ é contínua em $[0, +\infty[$. $\square$

Corolário Para todo $n > 1$, $a \in \mathbb R$ e $f: \mathbb R \to \mathbb R$ contínua, temos:

• $\lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}$, se $a \geq 0$;
• $\lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{f(x)}$, se $f(a) \geq 0$;
• $\lim\limits_{x \to a} f(\sqrt[n]{x}) = f(\sqrt[n]{a})$, se $a \geq 0$.

Proposição $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$

Dem.: Seja $L > 0$. Considere $M = L^n$. Note que, para qualquer $x > M$, $\sqrt[n]{x} > \sqrt[n]{L^n} = L$ (pois $\sqrt[n]{\cdot}$ é estritamente crescente). $\square$

Exemplo \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{x}} & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x \sqrt{x}}{x}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}\\ & = & +\infty \end{array}\]

Exemplo \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^2 - 2x}}{\sqrt{x}} & = & \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x(x - 2)}}{\sqrt{x}}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x}\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x}}\\ & = & +\infty \end{array}\]