Considere $c: \mathbb R \to \mathbb R^2$ a função definida da seguinte forma

• $c(0) = (1, 0)$;
• $c(t) = (x, y)$ para $t \neq 0$: aqui temos dois casos. Se $t > 0$, percorremos a circunferência unitária de centro $(0, 0)$ no sentido antihorário pela distância $t$. No caso $t < 0$, fazemos o mesmo processo, mas no sentido horário. Em ambos os casos, $(x, y)$ é a coordenada do ponto final deste caminho. Note que é possível dar mais de uma volta na circunferência.

De posse da função $c$ definida acima, definimos as funções $\sen, \cos: \mathbb R \to \mathbb R$ da seguinte forma. Sejam $(x, y) = c(t)$. Então $\cos(t) = x$ e $\sen(t) = y$.

Proposição Para qualquer $a \in \mathbb R$, temos

• $\lim\limits_{x \to a}\cos(x) = \cos(a)$;
• $\lim\limits_{x \to a}\sen(x) = \sen(a)$.

Dem.: Vamos fazer o caso $\cos$ - ou outro é análgo. Seja $\varepsilon > 0$. Considere $\delta = \varepsilon$. Temos que, dado $x \in \mathbb R$ tal que $|x - a| < \delta$ vale \[|\cos(x) - \cos(a)| < |x - a| < \delta = \varepsilon.\]

Obviamente, podemos usar esse último resultado misturado com os resultados anteriores:

Exemplo \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to a} \cos(x^2) + 2\sen(x - 1) = \cos(a^2) + 2\sen(a - 1) \end{array}\]

No caso de limites envolvendo infinito, alguns cuidados devem ser tomados:

Exemplo $\lim\limits_{x \to +\infty} \cos(x)$ não existe.

Primeiramente, como $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ para todo $x$, tal limite não poderia ser $+\infty$ nem $-\infty$ (sabe provar isso?). Então vamos ver que não existe $L \in \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} \cos(x) = L$. Fixe $L \in \mathbb R$. Suponha que exista $M > 0$ tal que, para todo $x > M$ \[|\cos(x) - L| < \frac{1}{2}\] Seja $a \in \mathbb N$ tal que $2\pi a > M$. Note que $|\cos(2\pi a) - \cos(2\pi a + \pi)| = 2$. Por outro lado, como $2\pi a, 2\pi a + \pi > M$, temos \[|\cos(2\pi a) - \cos(2\pi a + 1)| = |\cos(2\pi a) - L + L - \cos(2\pi a + \pi)| \leq |\cos(2\pi a) - L| + |\cos(2\pi a + \pi) - L| < 1\] contradição.

Por outro lado, temos

Exemplo $\lim\limits_{x \to +\infty} x - \cos(x) = +\infty$.

Note que não podemos usar o resultado de “vai para infinito somado com vai para número dá que vai para infinito”, pois o limite de $\cos$ não existe, como acabamos de ver. Mas podemos aplicar a definição diretamente. Fixe $K > 0$. Seja $M = K + 1$. Note que, dado $x > M$, temos \[x - \cos(x) > K + 1 - \cos(x) \geq K\]