Proposição Sejam $f, g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$. Temos:

• $\lim\limits_{x \to a} kf(x) = kA$, se $k \in \mathbb R$;
• $\lim\limits_{x \to a} -f(x) = -A$;
• $\lim\limits_{x \to a} f(x) - g(x) = A - B$;
• $\lim\limits_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{A}$ se $A \neq 0$;
• $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ se $B \neq 0$.

Dem.:

• Considere a função $h(x) = k$ para todo $x$ e use o resultado sobre produtos;
• Mesmo caso que o anterior, mas usando a função $h(x) = -1$;
• Podemos usar o item anterior e o resultado sobre a soma para $f(x) + (-g(x))$;
• Considere $h(x) = \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$. Daí podemos usar o resultado para a composta $h(f(x))$;
• Usamos o item anterior e o resultado sobre o produto para fazer $f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$.

• \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0} x^2 + 3x + 2 & = & \lim\limits_{x \to 0} x \cdot x + \lim\limits_{x \to 0} 3x + \lim_{x \to 0} 2\\ & = & 0\cdot 0 + 3\cdot 0 + 2 \\ & = & 2 \end{array}\]

• Vamos calcular $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{x}$. Note que num primeiro momento, parece que o certo é fazermos $\lim\limits_{x \to 0} x^2 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$. O problema é que o segundo limite não existe. Mas isso não quer dizer que o limite desejado não exista. Note que estamos trabalhando com “$x$ tendendo a $0$”, não com $x = 0$. Assim, o $x$ que está “dentro” do limite não é $0$, então podemos “cortá-lo”, isto é

\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim\limits_{x \to 0} x = 0\]