Teorema Considere $I$ e $J$ intervalos abertos. Seja $t: I \to J$ uma bijeção contínua. Sejam $a \in I$ e $b = t(a)$. Seja $f: J \setminus \{b\} \to \mathbb R$ uma função e seja $L$ um número real ou $+\infty$ ou $-\infty$. Então $\lim\limits_{y \to b} f(y) = L$ se, e somente se, $\lim\limits_{x \to a} f(t(x)) = L.$

Dem.: Vamos fazer o caso em que $L$ é um número real - os outros casos ficam como exercício.

Suponha que $\lim\limits_{y \to b} f(y) = L$. Seja $\varepsilon > 0$. Como $\lim\limits_{y \to b} f(y) = L$, existe $\delta_1 > 0$ tal que \[0 < |y - b| < \delta_1 \Rightarrow |f(y) - L| < \varepsilon.\] Como $t$ é contínua, existe $\delta_2 > 0$ tal que \[0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |t(x) - t(a)| < \delta_1.\] Vamos mostrar que $\delta = \delta_2$ funciona para a gente. Seja $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Então, temos que $0 < |t(x) - t(a)| < \delta_1$. Lembrando que $t(a) = b$, temos \[|f(t(x)) - L| < \varepsilon\] como queríamos.

Agora suponha que $\lim\limits_{x \to a} f(t(x)) = L$. Seja $\varepsilon > 0$. Como $\lim\limits_{x - a} f(t(x)) = L$, existe $\delta_1 > 0$ tal que \[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(t(x)) - L| < \varepsilon.\] Como $t$ é contínua e bijetora, $t^{-1}$ também é contínua. Logo, existe $\delta_2 > 0$ tal que \[0 < |y - b| < \delta_2 \Rightarrow |t^{-1}(y) - t^{-1}(b)| < \delta_1.\] Vamos mostrar que $\delta = \delta_2$ funciona para a gente. Seja $y$ tal que $0 < |y - b| < \delta$. Assim, $|t^{-1}(y) - a| < \delta_1$ (lembrando que $t(a) = b$). Assim: \[|f(y) - L| = |f(t(t^{-1}(y)) - L| < \varepsilon\] como queríamos.$\square$

Exemplo Considere $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x \sen(x - 1)}{x - 1}$. Uma mudança de variável boa aqui é $t = x - 1$. Note que, assim, quando $x \to 1$, $t \to 0$. Além disso, temos que $x = 1 + t$. Assim: \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 1} \frac{x \sen(x - 1)}{x - 1} & = & \lim\limits_{t \to 0} \frac{(1 + t) \sen(t)}{t}\\ & = & \lim\limits_{t \to 0} (1 + t)\frac{\sen(t)}{t}\\ & = & 1 \end{array}\]

Teorema Seja $t: ]A, B[ \to ]C, D[$ uma função contínua, sobrejetora e estritamente crescente. Seja $f: ]C, D[ \to \mathbb R$ uma função e seja $L$ um número real ou $+\infty$ ou $-\infty$. Então

• $\lim\limits_{x \to B^-} f(t(x)) = L$ se, e somente, se $\lim\limits_{y \to D^-} f(y) = L$;
• $\lim\limits_{x \to A^+} f(t(x)) = L$ se, e somente se, $\lim\limits_{y \to C^+} f(y) = L$.

O resultado continua valendo se $A, B, C, D$ forem $+\infty$ ou $-\infty$ (daí o limite é “lateral” naturalmente).

Exemplo Considere $\lim\limits_{x \to +\infty} x \sen(\frac{1}{x})$. Uma mudança de variável possível aqui é $t = \frac{1}{x}$. Assim, quando $x \to +\infty$, temos $t \to 0^+$. Com isso \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to +\infty}x\sen(\frac{1}{x}) & = & \lim\limits_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\sen(t)\\ & = & 1 \end{array}\]