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Motivação e definição
Primeira motivação
Suponha que temos uma situação onde uma função $f: A \to \mathbb R$ ($A \subset \mathbb R$) nos calcula algo. Mas, por algum motivo, existe um $x_0 \in A$ tal que não sabemos quanto vale $f(x_0)$ - mas sabemos quanto vale $f(x)$ para diversos pontos próximos de $x_0$. Além disso, digamos que exista um certo “padrão” nesses valores - mesmo um padrão que a gente não consiga descrever a princípio. Será que poderíamos tentar descrever quanto deveria ser $f(x_0)$ se o tal padrão continuasse valendo?
Segunda motivação
Imagine que $f$ represente uma máquina que transforma farinha em pizza. E suponha também que tal máquina seja muito precisa, apesar de ocorrerem imprecisões na medições, tanto da farinha, como da pizza final. Não é razoável se esperar que numa situação dessas, ao se pedir, por exemplo, $1m^2$ de pizza, que a gente receba esse valor certinho se o erro de medida na farinha for da ordem de uma tonelada - pode sair muito mais ou muito menos pizza. Como a máquina representada por $f$ é muito precisa, ela vem com uma tabela da seguinte forma:
| farinha | pizza | erro aceitável | tolerância exigida |
|---|---|---|---|
| $1$ | $L_1$ | $0,1$ | $0,05$ |
| $1$ | $L_1$ | $0,01$ | $0,000002$ |
| $2$ | $L_2$ | $0,1$ | $0,1$ |
A primeira linha diz que se vamos usar $1kg$ de farinha, vamos fazer $L_1$ de pizza - isso numa situação ideal. Mas, se ocorrem erros, a máquina ainda garante que “se você não quer ficar numa margem de $0,1$ no resultado final (na pizza), basta você garantir que não erre a quantidade de farinha em mais de 0,05”. Já a segunda linha ainda fala sobre trabalhar com $1kg$ de farinha, mas agora diz que sua exigência é maior, no caso só aceitar erros de até $0,01$ no resultado final, então você vai precisar garantir um erro na medição de entrada menor que $0,000002$. A terceira linha já trabalha com $2kg$ de farinha. Repare que é mais fácil garantir um erro de até $0,1$ no resultado final aqui (comparado com a situação de $1kg$ de farinha).
1 Considere uma $f$ que satisfaz a tabela acima. Seguindo a tabela
1.1 Se colocarmos $0,95kg$ de farinha, dá para garantir que $|f(1) - T| < 0,05$, onde $T$ é o quanto recebemos de fato de pizza?
1.2 Se colocarmos $1,2kg$ de farinha, dá para garantir que $|f(1) - T| < 0,05$, onde $T$ é o quanto recebemos de fato de pizza?
Definição de fato
Nas duas motivações temos alguma relação entre os valores de pontos “próximos” com o valor do próprio ponto - talvez no exemplo da pizza isso não esteja tão claro: imagine se perto do valor $1kg$ a função desse os valores seguindo a tabela mas, no próprio valor $1kg$ desse um valor muito maior?
A definição de limite tenta capturar exatamente essa situação: o limite de uma função num ponto $x_0$ será o valor que $f$ deveria tomar para seguir o “padrão” que os pontos próximos estão tendo.
Seja $f: A \to \mathbb R$ ($A \subset \mathbb R$) e seja $x_0 \in \mathbb R$. Dizemos que o limite de $f$ quando $x$ tende a $x_0$ é $L$ se vale \[\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\] Neste caso, denotamos o valor $L$ por \[\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\]
No caso da pizza, a máquina seria de fato boa se acontecessem sempre duas coisas: o limite sempre existisse e o valor da $f$ num ponto fosse igual ao limite da $f$ em tal ponto.
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